Beweis Injektivität f o f

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vectorix Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Injektivität f o f
Hî Zusammen

Ich hab da eine Frage zu einem Beweis der Bijektivität von f o f

Der Tutor in der Übungsstunde hat das letzte Woche wie unten angeschrieben:

Gegenannahme: f o f ist nicht bijektiv

1. Fall: Injektivität verletzt



Nun, der Schritt von Zeile 2 zu Zeile 3 ist der richtig? Kann man das einfach so hinschreiben und die Injektivität ist das schon bewiesen?

Oder wie muss man das machen?

vielen dank für eine antwort und gruss
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

also ich verstehe den Schritt nicht. du nimmst an, das f nicht bijektiv ist. Wendest aber die Umkehrfunktion an. Die Umkehrfunktion existiert aber nur für bijektive abbildungen.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Moment. Erstmal Struktur reinbringen:

1. Was sind die Vorraussetzungen?
2. Was ist zu zeigen?

Ob bijektiv ist, hängt nämlich von f ab.
vectorix Auf diesen Beitrag antworten »

also dieser teil der aufgabe war ein teil einer grösseren, wo man zeigen musste das folgende Aussagen äquivalent sind.

i) f ist bijektiv
ii) f ist surjektiv
iii)f ist injektiv
iv) f o f

Weitere Vorraussetung war, M sei eine endliche Menge und f: M eine Abbildung auf M.

Der Schritt oben wurde gezeigt, um die Äquivalenz von i) zu iv) zu zeigen...

verwirrt verwirrt verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei iv) steht nur . Das ist doch keine Aussage ...

Gruß MSS
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

außerdem sind i) und ii) mit sicherheit nicht äquivalent... und zu iii) ebenfalls nicht.
mfg 20

edit: oh mann, siehe meine signatur *g*
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Oli, genau lesen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von vectorix
Weitere Vorraussetung war, M sei eine endliche Menge
.

Gruß MSS

edit: Gleiches gilt für dich, Bene. smile
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

edit: Oh, da hat sich was getan in der Zeit...

Zitat:
man zeigen musste das folgende Aussagen äquivalent sind.

i) f ist bijektiv
ii) f ist surjektiv
iii)f ist injektiv
iv) f o f

Das kann nicht sein. i) und ii) sind nämlich nicht äquivalent, genausowenig wie i) und iii) oder ii) und iii).
edit: OK, da hab ich wie Oli auch nicht richtig gelesen, Entschuldigung.

Wie auch immer, oben soll also gezeigt werden . Es wird angenommen sei nicht bijektiv, und es wird der Fall, dass nicht injektiv ist, behandelt.

Es existieren also mit , sodass , was aus der Definition der Injektivität folgt. Jetzt ist aber f injektiv, laut Annahme, das heißt

,

damit muss hier und damit auch sein, Widerspruch.
Vectorix Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab ich natürlich noch mal vergessen

iv) f o f bijektiv

Also wenn i) bijektiv ist, folgt daraus, dass iv) dazu Äquivalent ist. Ich habs langsam aber sicher verstanden. Danke

Wäre dies bei einer unendlichen Menge den anders?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei einer unendlichen Menge gelten i.A. nur die Implikationen





und die Äquivalenz

.

Gruß MSS
vectorix Auf diesen Beitrag antworten »

ich kapier nicht wieso das da eine endliche Menge gegenüber einer unendlichen Menge diesen Unterschied ausmach verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vectorix
ich kapier nicht wieso das da eine endliche Menge gegenüber einer unendlichen Menge diesen Unterschied ausmach verwirrt


Betrachte zB

Was gilt hier ?

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte dir auch an deiner Beweisführung auffallen! Was klappt denn da bei nicht und warum nicht?

Gruß MSS
vectorix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Das sollte dir auch an deiner Beweisführung auffallen! Was klappt denn da bei nicht und warum nicht?

Gruß MSS


Weil bei einer undendlichen Menge die Chance da ist, dass immer noch ein weiteres "n" kommen kann, dass die Äquivalenz ungültig macht bei deinen Beispielen...?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vectorix
Weil bei einer undendlichen Menge die Chance da ist, dass immer noch ein weiteres "n" kommen kann, dass die Äquivalenz ungültig macht bei deinen Beispielen...?


Das ist sehr vage. Wenn du in deinen Beweis schaust, müsstest du die Stellen angeben können, an denen die Endlichkeit der Menge eingeht.

Ansonsten siehe zB mein obiges Beispiel.

Grüße Abakus smile
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