Eigenwert (Differentialgleichung)

19.10.2010, 13:34	Peter L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert (Differentialgleichung) Hi, ich sitze gerade vor einer Aufgabe, wo ich nicht weiß, was genau verlangt wird: Wie lauten die Eigenwertgleichungen der Folgenden Eigenwertaufgaben? Man gebe den kleinesten positiven Eigenwert - fals möglich - exakt an, andernfalls näherungsweise. Wie lautet die zum kleinsten positiven Eigenwert gehörigen Eigenfunktionen? $\begin{eqnarray} EJw'' + Fw=0 \end{eqnarray}$ Hier sind E,J und F Fett gedruckt. Das sollten also Matrizen sein? a) $\begin{eqnarray} w(0)=w'(l)=0 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} w(0)=w(l)=0 \end{eqnarray}$ Das sind anscheinend Aufgaben zur Duschbiegung eines Stabes. Aber was ist jetzt hier zu tun? Eine "Eigenwertaufgabe" habe ich noch nie gerechnet.
19.10.2010, 16:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieh' mal bei WIKIPEDIA unter "Balkentheorie" nach. In der einfachsten Theorie kann man den "Durchbiegung" w(x) eines Balkens im Intervall [0;L] durch die Diff'gleichung 4.Ordnung beschreiben: $\begin{eqnarray} EJw''''=q(x) \end{eqnarray}$ w=Durchbiegung in y-Richtung E=Elastizitätsmodul J=Flächenträgheitsmoment des Querschnittes q=Kraft pro Länge, die auf den Balken wirkt Das zugehörige Eigenwertproblem 4.Ordnung lautet $\begin{eqnarray} EJw''''=-Fw \end{eqnarray}$ Hierbei ist F der Eigenwert. In deiner Frage wird aber anstelle einer Gleichung 4.Ordnung folgendes Eigenwertproblem 2.Ordnung betrachtet $\begin{eqnarray} EJw''=-Fw \end{eqnarray}$ Die Randbedingungen lauten $\begin{eqnarray} w(0)=w'(L)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w(0)=w(L)=0 \end{eqnarray}$ Physikalsich bedeutet die erste Randbedingung, dass der Stab links nur aufliegt und rechts eingespannt ist. Die zweite Randbedingung bedeutet, dass der Stab links und rechts nur aufliegt, aber dort nicht eingespannt ist. Mir stellt sich die Frage, warum man einfach anstelle des Eigenwertproblems 4.Ordnung das Eigenwertproblem 2.Ordnung betrachtet. Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich nehme an, das liegt daran, dass die Eigenfunktion des Problems 2.Ordnung bekanntlich die Funktionen sin(...) und cos(...) sind. Leitet man diese nochmals zwei Mal ab, ergeben sich - bis auf einen Faktor - dieselben Funktionen, die dann die Eigenfunktionen des ursprünglichen Problems 4.Ordnung sind. Prüf' das mal. Auch wenn wir das hier nicht klären können, löse einfach das obige Eigenwertproblem 2.Ordnung. Das ist Standard.
19.10.2010, 17:00	Peter L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Physikalisch ist mir klar, was das beutet. Jedoch kenne ich das Problem eigentlich auch mit der Differentialgleichung 4. Ordnung. Mir ist nur nicht klar, was in der Aufgabe verlangt wird. Von Eigenwertproblem und Eigenfunktion habe ich noch nichts gehört.
20.10.2010, 10:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine gegeben Gleichung ist ein sogenanntes Eigenwertproblem $\begin{eqnarray} EJw''+F\cdot w=0 \end{eqnarray}$ __________(1) Die Randbedingungen lauten $\begin{eqnarray} w(0)=w'(L)=0 \end{eqnarray}$ __________(2) $\begin{eqnarray} w(0)=w(L)=0 \end{eqnarray}$ ___________(3) Mich wundert, dass du von Eigenwertproblemen (kurz EWP) noch nichts gehört hast, wenn ihr solche Aufgaben bekommt... Das gestellte Problem umfasst eigenlich zwei EWP: Erstens die Dgl (1) mit den Randbedingungen (2). Zweitens die Dgl (1) mitden Randbedingungen (3). Diese Lösungen w(x) nennt man Eigenfunktionen. Wesentlich ist, dass der Faktor F in (1), der als Eigenwert bezeichnet ist, nicht vorgegeben wird. Vielmehr ist es so, dass man hier unendlich viele Eigenwerte F finden kann, wobei zu jedem Eigenwert F genau eine Eigenfunktion w(x) gehört. Beispiel: Wir lösen (1) mit der Randbedingung (2): Die Dgl. (1) hat folgende allgemeine Lösung (die noch nicht die Randbedingung befriedigt) $\begin{eqnarray} w(x)=C_1\cdot \sin \left (\sqrt{\frac{F}{EJ}} \cdot x \right )+C_2\cdot \cos\left ( \sqrt{\frac{F}{EJ}} \cdot x \right ) \end{eqnarray}$ __________(4) Die Konstanten C1, C2 und die Eigenwerte F ergeben sich durch die Randbedingungen und durch die sogenannte Normierunbsbedingung. Wegen der linken Randbedingung w(0)=0 folgt C2=0, denn der Kosinus wird bei x=0 niemals Null. Also vereinfacht sich (4) zu $\begin{eqnarray} w(x)=C_1\cdot \sin \left (\sqrt{\frac{F}{EJ}} \cdot x \right ) \end{eqnarray}$ __________(5) Die Eigenwerte F ergeben sich aus der rechten Randbedingung w'(L)=0. Durch Differenzieren von (5) folgt daraus die Forderung $\begin{eqnarray} w'(L)=C_1\cdot \sqrt{\frac{F}{EJ}}\cdot \cos \left (\sqrt{\frac{F}{EJ}} \cdot L \right )=0 \end{eqnarray}$ __________(6) Da der Kosinus bekanntlich bei den Argumenten $\begin{eqnarray} x=\pi/2+m\cdot \pi \end{eqnarray}$ mit natürlichen Zahlen m verschwindet, folgt für die Eigenwerte F folgende Bedingung $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{F}{EJ}}\cdot L=\frac{\pi}{2}+m \cdot \pi \end{eqnarray}$ __________(7) Also lauten die Eigenwerte für die verschiedenen ganzen Zahlen m $\begin{eqnarray} F_m=\left ( \frac{\pi}{2}+m\pi \right )^2\cdot \frac{EJ}{L^2} \end{eqnarray}$ ________(8) Einsetzen von (8) in (5) liefert unendlich viele Eigenfunktionen für die Werte m=0,1,2... die jeweils zum Eigenwert Fm aus (8) gehören $\begin{eqnarray} w_m(x)=C_1 \cdot \sin \left ( \frac{\frac{\pi}{2}+m\pi}{L} \cdot x \right ) \end{eqnarray}$ _________(9) Die Eigenwerte (8) sind alle positiv und streben für wachsende m gegen unendlich. Den kleinsten positiven Eigenwert (danach wurde gefragt) erhält man, wenn man in (8) setzt m=0. Das ergibt $\begin{eqnarray} F_0= \frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{EJ}{L^2} \end{eqnarray}$ ________(10) Ganz ähnlich - sogar noch einfacher - löst man das EWP (1) mit den Randbedingungen (3)

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