welche längen haben die Höhen im Dreieck ABC, wie groß ist die Dreiecksfläche?

19.10.2010, 14:34

Ello

welche längen haben die Höhen im Dreieck ABC, wie groß ist die Dreiecksfläche?

Meine Frage:
Ich habe drei Vektoren gegeben A(3;4;5) B(3;2;7) und C(0;1;2) und das Dreieck ABC und brauvhe nun die Längen der Höhen und die Fläche des Dreiecks...

Meine Ideen:
da ich ja erst mal die Höhen ausrechnen muss, weiss ich dass ich das Kreuzprodukt brauch, bin mir aber nicht sicher wie ich das dann anwenden soll... kreuz ich dann C-B x A? weil die Höhe muss ja durch a iwie.. und des gleiche dann mit den anderen... dann hab ich schon mal die Höhenvektoren, aber wie berechne ich dann die Länge von denen?..

19.10.2010, 16:11

mYthos

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Dass man für die Höhen das Kreuzprodukt benötigt, ist nicht von vornherein Bedingung*. Bei der Dreiecksfläche ist das allerdings etwas anderes.

h(AB) durch C: Bestimme die Ebene durch C normal auf AB und schneide diese mit der Geraden AB. Damit hast du den Höhenfußpunkt. Die Länge der Höhe ist dann ....

Analog dazu die anderen Höhen.

mY+

(*) OK, über den Umweg über die Fläche und der Länge einer Seite kann man die Höhe ebenfalls berechnen.

20.10.2010, 01:37

aleph_math

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RE: welche längen haben die Höhen im Dreieck ABC, wie groß ist die Dreiecksfläche?
G. Abend!
Ebenen zu bestimmen u. erst recht das Vektorprod. sind im R3 keine einfache Sache. unglücklich

Da nur die Länge u. nicht die Lage gefragt ist, würde ich stattdessen die Seiten a, b, c (dh. die Beträge der Diff.vektoren) berechnen, dann die Winkel u. zuletzt einfach gute alte Trigonom. benutzen. Das ist nicht unbedingt weniger Arbeit, aber sicher leichter. Freude

Viel Erfolg! Wink

20.10.2010, 10:21

riwe

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RE: welche längen haben die Höhen im Dreieck ABC, wie groß ist die Dreiecksfläche?

Zitat:

Original von Ello
Meine Frage:
Ich habe drei Vektoren gegeben A(3;4;5) B(3;2;7) und C(0;1;2) und das Dreieck ABC und brauvhe nun die Längen der Höhen und die Fläche des Dreiecks...

Meine Ideen:
da ich ja erst mal die Höhen ausrechnen muss, weiss ich dass ich das Kreuzprodukt brauch, bin mir aber nicht sicher wie ich das dann anwenden soll... kreuz ich dann C-B x A? weil die Höhe muss ja durch a iwie.. und des gleiche dann mit den anderen... dann hab ich schon mal die Höhenvektoren, aber wie berechne ich dann die Länge von denen?..

oft ist es auch nicht ungeschickt, sich zuerst die werte/zahlen anzuschauen:

im konkreten fall handelt es sich um ein rechtwinkeliges dreieck,
womit man das problem zu dem problemchen, die seitenlängen zu bestimmen, degradiert hat.

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{AC} \end{eqnarray*}$ usw.

21.10.2010, 21:52

aleph_math

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RE: welche längen haben die Höhen im Dreieck ABC, wie groß ist die Dreiecksfläche?

Zitat:

... oft ist es auch nicht ungeschickt, sich zuerst die werte/zahlen anzuschauen:

im konkreten fall handelt es sich um ein rechtwink.[(!)] dreieck, womit das [Höhen-; Anm.]problem zum problemchen, die seitenlängen zu bestimmen, degradiert ist.

Rechtw. stimmt, aber das aus den Werten zu sehen, find ich toll! Ich musste dazu rechnen:

Seite a: $\begin{eqnarray*} a=||\vec{\left(BC\right)}||=||-{(3/1/5)}||=\sqrt{35}=5,916 \end{eqnarray*}$ ;
Seite b: $\begin{eqnarray*} b=||\vec{(CA)}||=||-{(3/3/3)}||=\sqrt{27}=5,196 \end{eqnarray*}$ ;
Seite c: $\begin{eqnarray*} c=||\vec{(AB)}||=||{(0/-2/2)}||=\sqrt{8}=2,280 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} cos~\alpha=\frac{\vec{(AB)}\cdot\vec{(AC)}}{b~c} =\frac{-(3/3/3)\cdot(0/-2/2)}{5,196\cdot2,28}=0 \Rightarrow \alpha=\pm 90°~(!)= \pm\pi/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sin~\alpha=1 \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} cos~\beta=\frac{\vec{(AB)}\cdot\vec{(BC)}}{a~c}=\frac{-(0/2/-2)\cdot(3/1/5)}{5,916\cdot2,28}=\frac{10-8}{13,49} =0,5931 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \beta=53,6227° \Rightarrow sin~\beta=0,8051 \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt:
$\begin{eqnarray*} h_a=c\cdot sin~\beta=1,84 ;~h_b = c = 2,28 ; ~h_c=b =5,196 ; ~F_\Delta =0.5\cdot b\cdot c = 5,93 \end{eqnarray*}$ (qed.)

Das ist wirklich nicht besonders schwer, nicht? Also glgt. an Alternativen denken! Viel Spass! Wink

22.10.2010, 01:17

mYthos

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@aleph_math

Ich möchte dich darum bitten, keine Komplettlösungen zu veröffentlichen. Falls dir unser Forumsprinzip noch nicht bekannt sein sollte, mögest du dir zunächst die Boardregeln genau durchlesen.

mY+

22.10.2010, 14:54

riwe

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RE: welche längen haben die Höhen im Dreieck ABC, wie groß ist die Dreiecksfläche?

Zitat:

Original von aleph_math

Zitat:

sehen ist manches mal ein synonym für denken.

und noch viel umständlicher als du kann man da nicht rechnen = "nicht zuerst denken",
daher bist du eben eher ein "rechnender" kein "sehender" Augenzwinkern

tipp:

$\begin{eqnarray*} 2A=a\cdot b\to h_c=\frac{2A}{c} \end{eqnarray*}$ mit den ansonsten im rechtwinkeligen 3eck üblichen bezeichnern

also noch ein tipp: gelegentlich sollte man auch selbst an alternativen denken Augenzwinkern

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