Definition einer Norm

19.10.2010, 16:15	piQuer	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition einer Norm Meine Frage: hi, in der aufgabe muss man zeigen wie eine norm definiert wird. Ich bin da iwie ratlos und hoffe ihr könnt mir helfen.(Aufgabe als Bild angefügt) Meine Ideen: zu 1a) ich meine das so eine euklidische norm definiert wird und die C.-S.'sche Ungleichung sagt mir auch was nur komm ich iwie nicht auf die Lösung, evtl seh ich auch den Wald vor lauter bäumen nicht zu 1b)bei dieser aufgabe bin ich auch relativ ratlos. habe zwar etwas gerechnet nur bin ich mir absolut nicht sicher ob das so hinhaut. hab hier das gerechnetet: $\begin{eqnarray} \|\|x+y\|\|^{2} +\|\|x-y\|\|^{2}=<x+y,x+y>+<x-y,x-y>=<x,x+y>+<y,x+y>+<x,x-y>+<y,x-y>= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =<x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y>+<x,x>-<x,y>+<y,x>-<y,y>=2<x,x>+2<y,y> \end{eqnarray}$ Anmerkungen: $\begin{eqnarray} <x,y>=<y,x> \end{eqnarray}$ wegen symmetrie $\begin{eqnarray} <x,x+y>=<x,x>+>x+y> \end{eqnarray}$ wegen bilinearität( $\begin{eqnarray} <x+y,x> \end{eqnarray}$ analog) wie ihr seht hab ich einfach die linke seite zur rechten umgeformt, mehr fällt mir dazu nicht ein. für feedback und verbesserungsvorschläge würde ich mich freuen Liebe Grüße benny
19.10.2010, 17:04	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst bei 1a) die Eigenschaften einer Norm nachrechnen. z.B. die Dreiecksungleichung. Dazu quadriert man am besten unf rechnet $\begin{eqnarray} \\|x+y\\|^2=\langle x+y,x+y\rangle=...\leq ... = \big(\\|x\\|+\\|y\\|\big)^2 \end{eqnarray}$ . Auf dem Weg benutzt man Cauchy-Schwartz. Benutzen darfst du ansonsten nur die Eigenschaften eines Skalarprodukts und ihre Folgerungen! (genau wie in 1b)!) 1b) sieht auf den ersten Blick richtug aus.

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