Limes Berechnung

11.11.2006, 18:17

Mariab

Limes Berechnung

Servus, ich hier leider ein Problem mit folgender Grenzwertaufgabe...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (\frac{1}{ \sqrt{x+1} }-\frac{1}{ \sqrt{x} })x \end{eqnarray*}$

kann mir da jemand helfen ? Ich würde mich aber nicht nur über die Lösung, sondern auch über den Rechenweg freun.

11.11.2006, 18:58

pseudo-nym

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Du könntest ausmultiplizieren und die beiden Summanden getrennt betrachten.

Zitat:

kann mir da jemand helfen ? Ich würde mich aber nicht nur über die Lösung, sondern auch über den Rechenweg freun.

Den wirst du kriegen, aber eben von dir selbst. Wir geben dir nur die Denkanstöße.

11.11.2006, 19:00

Schmonk

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Du könntest ausmultiplizieren und die beiden Summanden getrennt betrachten.

Das stimmt nur, wenn der Grenzwert auch existiert.

Besser ist es aus dem Ganzen einen großen Bruch zu bilden und sich diesen mal anzuschauen.

11.11.2006, 19:07

pseudo-nym

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Zitat:

Das stimmt nur, wenn der Grenzwert auch existiert.

Ok, warum das?

11.11.2006, 19:32

Mathespezialschüler

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Naja, es gilt z.B. einerseits

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\cdot n^2=\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}\cdot n^2=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\cdot n^2=\frac{n^2}{n-1}-\frac{n^2}{n}=\frac{n^2}{n-1}-n \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gehen lässt, erhältst du beim ersten Term als Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , beim zweiten aber $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ , was nicht definiert ist.

Gruß MSS

11.11.2006, 19:43

pseudo-nym

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Aber wenn man so ein Ergebnis hat, versucht man doch so umzuformen, das der unbestimmte Ausdruck verschwindet:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n-1}-n :\frac{n^2}{n-1}-\frac{n^2-n}{n-1} : \frac{n}{n-1} = 1 \end{eqnarray*}$
Man kommt so oder so zum Ziel.

11.11.2006, 19:46

Mathespezialschüler

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Ja, man versucht umzuformen, dann betrachtest du die Summanden aber nicht mehr getrennt, wie du es oben vorgeschlagen hattest!

Gruß MSS

11.11.2006, 19:52

pseudo-nym

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Ja da is was dran Hammer

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