1 ist nicht 0 in Axiom

19.10.2010, 16:57

AndrewWiles

1 ist nicht 0 in Axiom

Hallo, ich stöber grad so in alten Sachen, da begegnet mir das Axiom über das multiplikativ Neutrale:

Es gibt ein Element $\begin{eqnarray*} 1\in\Re,1\not=0 \end{eqnarray*}$ so dass gilt: $\begin{eqnarray*} x\cdot1=x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\Re \end{eqnarray*}$

Warum ist es hier wichtig zu erwähnen, dass 1 ungleich Null ist? Was sollte denn da schief gehen? Ich mein, dass 1 nicht Null ist, dass sieht jawohl 'n Blinder, außerdem geht es ja nicht um beliebige Elemente die auch Null sein könnten, sondern explizit um die 1.

19.10.2010, 17:56

leithian

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was genau ist mit R gemeint?

Reden wir über einen Ring, einen Körper, eine Gruppe, .. ?

19.10.2010, 18:07

Airblader

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RE: 1 ist nicht 0 in Axiom

Zitat:

Original von AndrewWiles
dass 1 nicht Null ist, dass sieht jawohl 'n Blinder

'0' und '1' sind erstmal nur abstrakte Symbole für Elemente aus einer algebraischen Struktur, die eine besondere Eigenschaft besitzen (z.B. Neutralität bzgl. einer Operation), weshalb man z.B. auch vom "Nullelement" oder "Einselement" spricht. Dass diese 'verschieden' sind ist erstmal gar nicht klar (wird es dann aber).

Es "sieht ja auch jeder Blinde", dass $\begin{eqnarray*} 2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, nicht wahr? Pustekuchen. In $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 = \mathbb Z / 2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt durchaus $\begin{eqnarray*} \overline{2} = \overline{1} + \overline{1} = \overline{0} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

(Zugegebenermaßen ist der Vergleich ein wenig hinkend, da wir hier von Nebenklassen sprechen, im anschaulichen Sinne aber ist er vllt. doch nützlich.)

air

19.10.2010, 18:09

chrizke

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Die 1 ist zwar aus der Schule oder dem allgemeinen Zahlverständnis her als das neutrale bekannt. Es gibt aber durchaus Gruppen, Ringe usw. in denen es die 1 nicht ist. Also nicht die Zahl 1.

zB Wenn du die stetigen Funktionen bezüglich der Verknüpfung betrachtest, ist das Neutrale nicht mehr die 1, sondern die Identitätsfunktion.

Deswegen ist es wichtig, dass man hier 1 ungleich 0 annimmt. Wäre die Identität nämlich die 0, würde die Operation mit einem beliebigen Element und der 0 wieder 0 ergeben und nicht, wie beim Neutralen gefordert, das Element selber.

19.10.2010, 18:18

Airblader

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Wobei man zu chrizkes korrektem Posting vielleicht anmerken sollte, dass dennoch oft vom Einselement gesprochen wird und es manchmal auch entsprechend genannt wird. Allerdings wird es dann meist indiziert, um klarzumachen, dass es sich um das Einselement in einem bestimmten Raum handelt, z.B.

$\begin{eqnarray*} 1_V := \operatorname{id}_V \end{eqnarray*}$

auf einem entsprechenden Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ (s. chrizke).

air

19.10.2010, 18:19

leithian

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Im wesentlichen will man, denke ich, mit der Einschränkung an das
Neutrale Element der Multiplikation seltsame Fälle wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{1} \end{eqnarray*}$ verhindern.

mfg

19.10.2010, 18:57

AndrewWiles

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Ok, Danke erstma der Antworten. Ihr meint also, daß auf diesen Teil tatsächlich nicht verzichtet werden kann– Gut, glaub ich kann Euch trauen. Dennoch leuchtet mit das nicht so wirklich ein. Dabei ist mir schon klar, daß es Körper gibt, in denen alles mögliche und nicht mögliche gilt.

Was mich irritiert ist: Das Axiom behauptet ja lediglich, daß es ein Element mit besagten Eigenschaften gibt, und nicht, daß man versuchen sollte die Neutralitätseigenschaft allen möglichen Elementen nachzusagen.

Um chrizke aufzugreifen:
Ich sehe die Gefahr nicht 1=0 anzunehmen. Das Axiom erlaubt mir genau: x=1x und erstmal nicht mehr. Für die 1 hier 0 "einzusetzen".. Wie käme ich denn dazu?

Es ist, eben wie Air sacht, DAS Einselement und nicht ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ das auch mit 0 assoziiert werden könnte.

Sorry, daß ich mit soner Kleinigkeit soviel nerve. Aber Ihr wisst ja wie das ist... Tanzen

19.10.2010, 20:18

Leopold

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Nehmen wir einen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit Nullelement $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und Einselement $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

a) Da $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ neutrales Element der Addition ist, gilt $\begin{eqnarray*} 0+0=0 \end{eqnarray*}$ , nach dem Distributivgesetz also für ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot x = (0+0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x \end{eqnarray*}$

Und addiert man in dieser Gleichung auf beiden Seiten das additive Inverse von $\begin{eqnarray*} 0 \cdot x \end{eqnarray*}$ , so folgt (man hat rechts auch noch das Assoziativgesetz der Addition zu verwenden):

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \cdot x \end{eqnarray*}$

Diese Beziehung gilt also in jedem Ring.

b) Wäre jetzt $\begin{eqnarray*} 1=0 \end{eqnarray*}$ , so folgte für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$

einerseits nach a): $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x = 0 \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

andererseits, da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ neutrales Element der Multiplikation ist: $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x = x \end{eqnarray*}$

Und ein Vergleich zeigt: $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Jedes Element des Rings wäre also das Nullelement=Einselement, mithin bestünde der Ring nur aus einem einzigen Element. Diese Struktur ist nicht gerade besonders reichhaltig ...

Also fordert man $\begin{eqnarray*} 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , um diese Trivialität auszuschließen.

19.10.2010, 20:30

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Leopold
Nehmen wir einen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit Nullelement $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und Einselement $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

a) Da $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ neutrales Element der Addition ist, gilt $\begin{eqnarray*} 0+0=0 \end{eqnarray*}$ , nach dem Distributivgesetz also für ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot x = (0+0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x \end{eqnarray*}$

Und addiert man in dieser Gleichung auf beiden Seiten das additive Inverse von $\begin{eqnarray*} 0 \cdot x \end{eqnarray*}$ , so folgt (man hat rechts auch noch das Assoziativgesetz der Addition zu verwenden):

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \cdot x \end{eqnarray*}$

Diese Beziehung gilt also in jedem Ring.

b) Wäre jetzt $\begin{eqnarray*} 1=0 \end{eqnarray*}$ , so folgte für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$

einerseits nach a): $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x = 0 \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

andererseits, da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ neutrales Element der Multiplikation ist: $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x = x \end{eqnarray*}$

Und ein Vergleich zeigt: $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Jedes Element des Rings wäre also das Nullelement=Einselement, mithin bestünde der Ring nur aus einem einzigen Element. Diese Struktur ist nicht gerade besonders reichhaltig ...

Also fordert man $\begin{eqnarray*} 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , um diese Trivialität auszuschließen.

Als Ring schließt man den Nullring aber normalerweise nicht aus, man will nur, dass dieser kein Körper. Denn sonst müsste man bei so ziemlich jedem Satz über Körper dazusagen, für jeden Körper ausser dem Nullkörper gilt...

Bei Ringen gelten jedoch viele dieser Aussagen sowieso nicht.

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