Beweis 4^i/2

19.10.2010, 18:21

Flo276

Beweis 4^i/2

Meine Frage:
Hallo,

es is zu beweisen , dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n (i+1)*4^{\frac{i}{2} } = 1+n*2^{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle n=0,1,2,...

Beweis mit Hilfe Vollständiger Induktion

Meine Ideen:
Habe zunächst Induktionsaussage für n0=0 berechnet
=> A(n0) ist wahr.

Induktionsvorraussetzung:
Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n+1 (i+1)*4^{\frac{i}{2} } = 1+(n+1)* 2^{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Beim Induktionsschritt bin ich wie folgt vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n+1 (i+1)*4^{\frac{i}{2} } + \left((n+1)+1\right) * 4^{\frac{n+1}{2} } = 1+(n+1)* 2^{(n+1)+1 } + ((n+1)+1)*4^{\frac{n+1}{2} } \end{eqnarray*}$

Beim IV und IS mus jeweils ein n+1 über das Summenzeichen. Ging im Formeleditor nicht

Nun finde ich keine gute Vereinfachung für diesen Term.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Beste Grüße

19.10.2010, 19:02

Q-fLaDeN

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Du hast leider bisher schon falsch gerechnet.

Zuerst mal zum Latex Problem: Die Grenzen der Summe musst du in geschweifte Klammern schreiben wenn sie aus mehr als einem Zeichen bestehen:

code:
1:	\sum_{i=0}^{n+1} i

ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n+1} i \end{eqnarray*}$

Nun zu deinem Fehler. Die Umformung

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n+1} (i+1) \cdot 4^{\frac i 2} = \sum_{i=0}^{n} (i+1) \cdot 4^{\frac i 2} + ((n+1)+1) \cdot 4^{\frac{n+1}{2}} \end{eqnarray*}$

ist richtig, der Folgeschritt aber nicht.

Denn es ist ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n (i+1) \cdot 4^{\frac{i}{2} } = 1+n \cdot 2^{n+1} \neq 1+(n+1) \cdot 2^{(n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Du solltest also die Induktionsvoraussetzung richtig einsetzen.

19.10.2010, 19:09

mYthos

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Den Induktionsschritt hast du falsch angegangen!
Vielmehr muss folgende Gleichheit gelten:

Formel für n + (n+1).ter Summand = Formel für (n+1)

Übrigens ist es einfacher, wenn du für $\begin{eqnarray*} 4^{\frac i 2} = 2^i \end{eqnarray*}$ rechnest (!)

mY+

19.10.2010, 22:56

Flo276

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Vielen Dank schonmal!

Habe nun meinen Induktionsschritt verbessert.

IS: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n (i+1)*2^{i} + ((n+1)+1)*2^{n+1} = 1+n*2^{n+1} + ((n+1)+1)*2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich versucht umzuformen, jedoch kann ich den Term einfach nicht vereinfachen.
Habt ihr Tipps oder einen Trick, wie ich weiter vorgehen kann?
Beste Grüße

19.10.2010, 23:27

Q-fLaDeN

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Ja das ist richtig. Die 1 vorne sieht doch schonmal gut aus, die lassen wir also. Beim Rest klammere mal $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ aus.

20.10.2010, 01:06

Flo276

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ok. Das mit der 1 habe ich mir schon gedacht. So habe ich weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} = 1+\left[(n+(n+1)+1)*2^{n+1} \right] = 1+\left[2*(n+1)*2^{n+1} \right] = 1+(n+1)*2^{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Habe beim letzten Schritt angenommen, dass $\begin{eqnarray*} 2*2^{n+1} = 2^{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$ ist.

Ist der Beweis richtig geführt oder habe ich noch etwas Falsch gemacht?
Beste Grüße

20.10.2010, 02:00

TommyAngelo

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