Stationärer Punkt

19.10.2010, 19:30

hans201

Stationärer Punkt

Hallo,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich Hilfe bräuchte.

1) Die Aufgabenstellung:

Ermitteln Sie den stationären Punkt der Funktion f(x,y)= $\begin{eqnarray*} x^{3} - y^{3} + 9xy \end{eqnarray*}$

2) Meine bisherigen Ansätze:

Partielle Ableitung nach x= $\begin{eqnarray*} 3x^{2} +9y \end{eqnarray*}$

Partielle Ableitung nach y= $\begin{eqnarray*} 9x-3y^{2} \end{eqnarray*}$

Um den stationären Punkt zu erhalten dacht ich mir, man könne die Ableitungen einfach mit ienem Gleichungssystem auflösen. Aber da liegt auch schon das Problem.

Ich komme auf absolut "merkwürdige" ergebnisse.
Zb. beim Auflösen nach x erhalte ich die $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-3} \end{eqnarray*}$

WolframAlpha: Weil mir das alles nicht ganz richtig erscheint, habe ich das ganze mal in WolframAlpha eingegeben: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x^3%29-%28y^3%29%2B9xy

Wolfram kommt auf ein lokales Minimum bei (3,-3).

Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen....denn ich wollte schon mein Analysisbuch aus dem Fenster werfen^^

Lg
Hans

19.10.2010, 19:52

tigerbine

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RE: Stationärer Punkt

Zitat:

Original von hans201

1) Die Aufgabenstellung:

Ermitteln Sie den stationären Punkt der Funktion f(x,y)= $\begin{eqnarray*} x^{3} - y^{3} + 9xy \end{eqnarray*}$

2) Meine bisherigen Ansätze:

Partielle Ableitung nach x= $\begin{eqnarray*} 3x^{2} +9y \end{eqnarray*}$

Partielle Ableitung nach y= $\begin{eqnarray*} 9x-3y^{2} \end{eqnarray*}$

Und was muss nun für die part. Ableitungen gelten?

(1) $\begin{eqnarray*} 3x^{2} +9y = 0 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} 9x-3y^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Was bekommen wir für Lösungen? Man sieht sofort:

$\begin{eqnarray*} x=0 \Leftrightarrow y=0:~(0,0) \end{eqnarray*}$

Allgemein angesetzt: Aus (2) ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{3}y^2 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in (1)

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{9}y^4 +9y = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist nun einfach ein 1D-Nullstellproblem.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}y(y^3 +27) = 0 \end{eqnarray*}$

Wir erhalten die Lösungen y=0 und y=-3.

Soweit klar?

19.10.2010, 20:01

hans201

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RE: Stationärer Punkt
hi tigerbine,

du hast mich bei

Zitat:

Eingesetzt in (1)

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{9}y^4 +9y = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist nun einfach ein 1D-Nullstellproblem.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}y(y^3 +27) = 0 \end{eqnarray*}$

Wir erhalten die Lösungen y=0 und y=-3.

verloren

19.10.2010, 20:03

tigerbine

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RE: Stationärer Punkt
Wie konnte das passieren? Wir haben 2 Gleichungen für 2 Unkannte. Da habe ich das Einsetzungsverfahren angewendet.

Zitat:

eingesetzt in (1)

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{9}y^4 +9y = 0 \end{eqnarray*}$

wieder dabei?

19.10.2010, 20:09

hans201

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RE: Stationärer Punkt
du hast da 3*1 und 3*3 gerechnet. wenn das stimmt....bin ich wieder dabei.

19.10.2010, 20:12

tigerbine

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RE: Stationärer Punkt
(1) $\begin{eqnarray*} 3x^{2} +9y = 0 \end{eqnarray*}$

Aus (2) erhält man:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{3}y^2 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{1}{9}y^4 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in (1) ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{9}y^4 +9y = 0 \end{eqnarray*}$

Und diese Gleichung hängt doch nur noch von y ab. Also, ein einfaches Nullstellenproblem, weil nur noch eine Variable. Vorher waren es ja 2.Klar?

Bin nun erst mal off

19.10.2010, 20:13

hans201

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RE: Stationärer Punkt
klar :-)

19.10.2010, 20:14

tigerbine

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RE: Stationärer Punkt

Zitat:

Das ist nun einfach ein 1D-Nullstellproblem.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}y(y^3 +27) = 0 \end{eqnarray*}$

Wir erhalten die Lösungen y=0 und y=-3.

Na, dann solltest du das ja auch leicht lösen können. Augenzwinkern

19.10.2010, 20:16

hans201

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RE: Stationärer Punkt
jap, habe es step by step auf dem block gemacht.

ach binchen.....nun hast du mir zum zweiten mal schon geholfen :-)

Mit Zunge

lg hans
binchens fanboy ;-)

19.10.2010, 21:17

tigerbine

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RE: Stationärer Punkt
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