Matrixmultiplikation und inneres Produkt

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Steinbock Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixmultiplikation und inneres Produkt
Meine Frage:
ich soll zeigen:
[vT AT Au]^2 <= (uT AT Au)(vT AT Av) mit:
A_n,n;
u_n,1 und v_n,1,

Meine Ideen:
ich habe umgeformt zu:
(vT AT Au) (vT AT Au) <= (uT AT Au) (vT AT Av); dann weiter :
(vT ATA u) (vT ATA u) <= (uT ATA u) (vT ATA v); ATA kommt in jeder Klammer vor, ist also als Beitrag zur Lösung irrelevant;
übrig bleibt:
(vT u)(vT u) <= (uT u) (vT v); das ist :
<u,v>^2 <= <u,u> <v,v> ; weiter:
<u,v>^2 <= ||u||^2 ||v||^2 ;
die Cauchy-Schwarz Ungleichung : |<u,v>| <= ||u|| ||v||=>
die Ungleichung gilt dann auch nach dem Quadrieren der Ungleichung.
Quo errat demonstrator ? (ich befürchte,mehrmals),
oder: q.e.d ?
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieder kann ich nur sagen: Latex ist hier nicht umsonst eingebunden!

So werde ich als potentieller Helfer nur von riesigen Symbolhaufen abgeschreckt.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Apropos Cauchy-Schwarz Ungleichung: Das ist doch nicht anderes als Cauchy-Schwartz, was du das zeigen sollst.
Da wegen positiv definit ist und außerdem symmetrisch...

Zitat:
ATA kommt in jeder Klammer vor, ist also als Beitrag zur Lösung irrelevant;

Die Argumentation ist nicht gerechtfertigt! z.B. ist aber .
Steinbock Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme nicht drauf;
also, mein Vorwissen kennt noch kein positiv definit und symmetrisch;
ich sollte mit folgenden Formeln umgehen können:

vT u = <u,v>;
<Au, v> = <u, AT v>
<u, Av> = <AT u , v >
und
|<u, v>| <= ||u|| ||v||; diese ist nur bekannt, noch ohne Beweis.

vielleicht gibt mir jemand einen Tipp.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Einschränkung ist .
----------
Nun setzt du und formst um.
Steinbock Auf diesen Beitrag antworten »

also ,nächster Ansatz: Beweise:
(vT AT Au )^2 <= (uT AT Au) (vT AT Av):

diesen Term kann umformen zu:
( <AT Au, v>) ^2 < = <AT Au, u> <AT Av, v> ; (Skalarproduktbildung)

mit der Abkürzung: ATA = B wird daraus:

(<Bu,u>)^2 <= < Bu, u > <Bv, v> ;

vielleicht ist das eine Sackgasse, zumindest komme ich nicht weiter;
ich will eigentlich versuchen zu zeigen, dass es sich oben eigentlich nur
um Cauchy-Schwartz handelt.

außerdem: wie kommt Cugu weiter oben auf:

(vT At Av) = ||Av||^2 ?
 
 
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
außerdem: wie kommt Cugu weiter oben auf: (vT At Av) = ||Av||^2 ?

So ist die zugehörige Norm definiert: und , setze also .

Ob das eine Sackgasse ist, lässt sich schwer sagen. Bis jetzt hast du die zu zeigende Aussage nur mehr oder weniger abgeschrieben.

Was definitiv funktioniert ist auseinander zu ziehen...

edit:
Vergiss den Beweis mit dem ...
Es geht doch ganz einfach: Benutze ganz am Anfang und , dann steht das, was du haben willst, schon fast da.
Steinbock Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, mit diesem Hinweis bin ich klar gekommen.
Gruß Steinbock.
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