Beweis mittels Induktion

19.10.2010, 21:17	JayN	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mittels Induktion Huhu, ich habe folgende Aufgabe bekommen: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion 1) 3^n > n^3 für alle n E <<<<N, n >=4 2) eine menge mit nE N elementen besitzt 2^n Teilmengen bei 1) habe ich die 4 eingesetzt und somit für den ersten term eine wahre aussage bekommen dann müsste ja gelten 3^(n+1) > 3^n 3^(n+1) = 3^n*3 doch dann komme ich nciht weiter muss ich dann über irgendwelche exponentialfunktionen weitergehen? und bei der 2) finde ich ich fast gar keinen Ansatz außer vllt irgendwie die Potenzmenge verwenden. hoffe es kann mir wer auf die sprünge helfen, um den trick bei der jeweiligen aufgabe zu sehen. Dank im Vorraus
19.10.2010, 21:48	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mittels Induktion im induktionsschluss betrachtest du folgendes: $\begin{eqnarray} 3^{n+1}=3 \cdot 3^n \end{eqnarray}$ , nach IV ist $\begin{eqnarray} 3^n>n^3 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 3 \cdot 3^n >3 \cdot n^3 \end{eqnarray}$ . nun ist n>3, also, was folgt daraus? die 2) kann man auch mit induktion machen: IV ist bekannt, n=0, die einzige menge mit 0 elementen ist die leere menge, diese besitzt eine teilmenge, nämlich die leere menge. nun noch den schluss, betrachte dazu die n-elementige menge $\begin{eqnarray} M=\{x_1,x_2,......,x_n\} \end{eqnarray}$ und nimm ein $\begin{eqnarray} y \neq x_i, \forall~i=1,....,n \end{eqnarray}$ , betrachte dann $\begin{eqnarray} M \cup \{y\} \end{eqnarray}$ und wende darauf deine vorraussetzung an.
19.10.2010, 22:11	JayN	Auf diesen Beitrag antworten »
ja wenn n>3 und n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ dann ist n $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 4 doch wie kommt man dazu ich seh im moment noch nicht richtig durch, diese exponenten stören mich irgentwie
19.10.2010, 22:28	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe nicht..... was stört dich denn an den exponenten? was kannst du nicht nachvollziehen bzw. wo genau hängst du? mach mal vor, was du bisher nachvollziehen kannst und versuche genau zu sagen, wo du nicht weiterkommst.
19.10.2010, 22:47	JayN	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versuche das hochgestellte n runter zu bekommen muss ja schließlich zu einer aussage kommen, die eindeutig belegt, dass $\begin{eqnarray} 3^{n} \end{eqnarray}$ ab größer gleich 4 > $\begin{eqnarray} n^{3} \end{eqnarray}$ somit würde ich bilden ln $\begin{eqnarray} e^{nln3} \end{eqnarray*}$ , womit ja dann das n eigentlich unten sein müsste und auf dem weg muss dann irgendwo eine eindeutige aussage liegen, dass dieser term dann größer ist als der andere für alle n die mindestens 4 sind so wie man das bei der induktion mit brüchen oder so auch macht
19.10.2010, 23:00	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
das brauchst du gar nicht... ich habe da ebend schon etwas zu geschrieben: betrachte zuerst einmal $\begin{eqnarray} 3^{n+1}=3 \cdot 3^n >_{n.V}3 \cdot n^3=n^3+n^3+n^3 \end{eqnarray}$ . und da n>3 ist sicherlich $\begin{eqnarray} n^3+n^3>3n^2+3n+1 \end{eqnarray}$ . nun ist also $\begin{eqnarray} 3^{n+1}=3 \cdot 3^n>_{n.V} 3 \cdot n^3 >_{da~n>3}n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3 \end{eqnarray}$ .
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19.10.2010, 23:17	JayN	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok danke jetzt ist der groschen gefallen die 2te werde ich morgen mit deinem ansatz nochmal neu angehen, dafür bin ich heute zu platt hab dank für deine auskunft

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