Schuldenrechnung: wann verdoppelt bei Anfangskapital?

19.10.2010, 21:57

StefanD

Schuldenrechnung: wann verdoppelt bei Anfangskapital?

Meine Frage:
Ein Staat ist mit einer Billion Euro verschuldet. Nach wieviel Jahren ist die Staatsverschuldung auf zwei Billionen angewachsen, wenn sie sich jährlich um 6% Zinsen plus weitere 50 Milliarden erhöht?

Meine Ideen:
Ich habe erfolgreich ausgerechnet, wann der Statt sich 1 Billion verschuldet hat, wenn er 0 Schulden hat, der Zins 6% beträgt und jedes Jahr weitere 50 Milliarden Schulden dazukommen.

Mir fehlt leider die zündende Idee, wie man rechnen muss, wenn man die Verschuldung von 1 auf 2 Billion errechnen soll.

19.10.2010, 22:03

tigerbine

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RE: Schuldenrechnung: wann verdoppelt bei Anfangskapital?
Wenn du nicht gleich auf die Forme kommst, dann mache eine Tabelle 1Billion = 1.000 Milliarden

$\begin{eqnarray*} S(0) = 1000 \end{eqnarray*}$

Nun müssen wir eine Annahme treffen, wann die 50 Milliarden hinzukommen. Am Anfang oder am Ende einer Periode. Ich interpretiere den Text als "am Ende".

$\begin{eqnarray*} S(1) = 1000 \cdot 1.06 + 50 \end{eqnarray*}$

Nun bist du dran.

$\begin{eqnarray*} S(2)= ? \end{eqnarray*}$

19.10.2010, 22:21

StefanD

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RE: Schuldenrechnung: wann verdoppelt bei Anfangskapital?

Zitat:

Original von tigerbine
Wenn du nicht gleich auf die Forme kommst, dann mache eine Tabelle 1Billion = 1.000 Milliarden

$\begin{eqnarray*} S(0) = 1000 \end{eqnarray*}$

Nun müssen wir eine Annahme treffen, wann die 50 Milliarden hinzukommen. Am Anfang oder am Ende einer Periode. Ich interpretiere den Text als "am Ende".

$\begin{eqnarray*} S(1) = 1000 \cdot 1.06 + 50 \end{eqnarray*}$

Nun bist du dran.

$\begin{eqnarray*} S(2)= ? \end{eqnarray*}$

Danke für die schnelle Hilfe. Ich versuche mal zu erweitern.

$\begin{eqnarray*} S(2) = S(1) \cdot 1.06 + 50= (1000 \cdot 1.06 + 50) \cdot 1.06 + 50<br /> = 1000 \cdot 1,06² + 50 \cdot 1,06 + 50<br /> = 50 \cdot (20 \cdot 1,06² + 1,06 + 1) \end{eqnarray*}$

Und nun?

19.10.2010, 22:35

tigerbine

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RE: Schuldenrechnung: wann verdoppelt bei Anfangskapital?
$\begin{eqnarray*} S(2) = S(1) \cdot 1.06 + 50 \end{eqnarray*}$

Das kann man ja immer so weiter machen. Hast du Excel? Dann könntest du dir mal die Werte ausgeben lassen. Wann haben wir 2 Billionen?

Um uns an die Formel ranzutasten, schreibe ich sie mal aufgebläht auf.
$\begin{eqnarray*} S(0) = 1000 \cdot 1.06^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(1) = 1000 \cdot 1.06^2 + 50 \cdot 1.06^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(2) = 1000 \cdot 1.06² + 50 \cdot 1.06^1 + 50 \cdot 1.06^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(3) = 1000 \cdot 1.06^3+ 50 \cdot 1.06^2 + 50 \cdot 1.06^1 + 50 \cdot 1.06^0 \end{eqnarray*}$

Erkennst du ein System?

20.10.2010, 09:01

StefanD

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RE: Schuldenrechnung: wann verdoppelt bei Anfangskapital?

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} S(2) = S(1) \cdot 1.06 + 50 \end{eqnarray*}$

Das kann man ja immer so weiter machen. Hast du Excel? Dann könntest du dir mal die Werte ausgeben lassen. Wann haben wir 2 Billionen?

Habs im Excel rechnen lassen: nach 8 Jahren sind wir über 2 Billionen.

Zitat:

Original von tigerbine
Um uns an die Formel ranzutasten, schreibe ich sie mal aufgebläht auf.
$\begin{eqnarray*} S(0) = 1000 \cdot 1.06^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(1) = 1000 \cdot 1.06^2 + 50 \cdot 1.06^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(2) = 1000 \cdot 1.06² + 50 \cdot 1.06^1 + 50 \cdot 1.06^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(3) = 1000 \cdot 1.06^3+ 50 \cdot 1.06^2 + 50 \cdot 1.06^1 + 50 \cdot 1.06^0 \end{eqnarray*}$

Erkennst du ein System?

Die 1,06 kann man ausklammern. Die Formel ergibt dann irgendwann die geometrische Summe. Leider kann ich aber mit dem Anfangswert von einer Billionen nichts anfangen. Wenn man bei 0 starten würde wärs viel einfacher ;-)

20.10.2010, 10:22

StefanD

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Nach reiflicher Überlegung und einer kleinen Mittagspause habe ich hoffentlich die Lösung:

$\begin{eqnarray*} S = 1000 \cdot 1.06^n + 50 \cdot (1.06^n - 1) / 0,06 \end{eqnarray*}$

Stimmt es so?

20.10.2010, 15:19

tigerbine

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Die Idee ist hier die Prozesse auseinander zu ziehen. Das man das darf, haben wir uns mit den ersten Werten Plausibel gemacht und wir können das auch allgemein formulieren.

$\begin{eqnarray*} S(n) = 1000 \cdot 1.06^n+ 50 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}1.06^k \end{eqnarray*}$

Wir starten mit den konst. 50er Raten ein Jahr versetzt. http://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung#Grundformeln . Nun müssen wir die Summe noch durch einen geeigneten Term ersetzen. bezogen auf unseren Startzeitpunkt haben wir eine nachschüssige Rate/Rente. Für unseren Endwert bekommen wir:

$\begin{eqnarray*} S(n) = 1000 \cdot 1.06^n+ 50 \cdot \frac{1.06^n-1}{1.06-1} \end{eqnarray*}$

Somit war deine Pause sehr produktiv. Du musst nur mehr kommunizieren, was du tust. Augenzwinkern

Nun ist die Frage, für welches n gilt:

$\begin{eqnarray*} S(n)=2000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2000= 1000 \cdot 1.06^n+ 50 \cdot \frac{1.06^n-1}{0.06} \end{eqnarray*}$

Wie formen wir nun die Rechte Seite um?

21.10.2010, 13:58

StefanD

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Sorry ich kann nicht soviel kommunizieren, da ich mit dem Formeleditor nicht wirklich klar komme.
Ich erweitere den Bruch mit 100, dann steht da 5 x 10^11 / 6
Nun kann ich 10^12 kürzen.

Dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} 1,06^n + 1/12 \cdot (1,06^n - 1) = 2 \end{eqnarray*}$
Stimmt das soweit?

21.10.2010, 14:05

StefanD

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Zitat:

Original von StefanD
Sorry ich kann nicht soviel kommunizieren, da ich mit dem Formeleditor nicht wirklich klar komme.
Ich erweitere den Bruch mit 100, dann steht da 5 x 10^11 / 6
Nun kann ich 10^12 kürzen.

Dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} 1,06^n + 5/6 \cdot (1,06^n - 1) = 2 \end{eqnarray*}$
Stimmt das soweit?

21.10.2010, 14:09

tigerbine

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Schlechte ausrede. Sich mit dem FE zu beschäftigen ist eine sinnvolle Investition. Augenzwinkern

Warum nun ein Doppelpost? verwirrt

Deine Umformung zielt nicht auf den Kern des Problems.

$\begin{eqnarray*} 2000= 1000 \cdot 1.06^n+ 50 \cdot \frac{1.06^n-1}{0.06} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2000= 1000 \cdot 1.06^n+ 50 \cdot (\frac{1.06^n}{0.06} - \frac{1}{0.06}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2000= 1000 \cdot 1.06^n+ \frac{50}{0.06}\cdot 1.06^n - \frac{50}{0.06} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2000= (1000 + \frac{50}{0.06})\cdot 1.06^n - \frac{50}{0.06} \end{eqnarray*}$

Von nun ab solltest du keine Probleme mehr haben. Warum habe ich so umgeformt?

21.10.2010, 16:45

StefanD

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Habe leider auch gemerkt, dass meine Umformung nichts bringt.
Mit deiner Methode kommt nur noch 1mal das n vor und man kann danach auflösen.

Vielen Dank für deine tolle Hilfe!

21.10.2010, 17:31

tigerbine

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