Beschränkte reelle Zahlenfolge, die NICHT Cesaro-konvergent, gesucht

20.10.2010, 10:34	mathstud	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkte reelle Zahlenfolge, die NICHT Cesaro-konvergent, gesucht Meine Frage: Aufgabe ist es eine solche Folge zu finden und die genannten Eigenschaften zu beweisen. Meine Ideen: Ich bräuchte nur einen Tipp für eine solche Folge.
20.10.2010, 11:25	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränkte reelle Zahlenfolge, die NICHT Cesaro-konvergent, gesucht Das lässt sich doch leicht basteln, wenn man z.B. als Glieder der Folge nur 1 und -1 verwendet. Dann kann erreichen, dass bei der zugehörigen Cesaro-Folge immer mal wieder und wechselnd Glieder > 1/2 und Glieder < -1/2 auftreten.
20.10.2010, 12:12	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau - mit etwas Mühe lässt sich sowas in der Art auch explizit angeben, z.B. $\begin{eqnarray} a_n = (-1)^{\lfloor \log_2(n) \rfloor} \end{eqnarray}$ o.ä.
20.10.2010, 20:12	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} s_1:=1~s_2:=2,~s_{n+1}:=\sum_{k=1}^ns_k;~k\geq2. \end{eqnarray}$ Die Folge: $\begin{eqnarray} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}=1,~\underbrace{-1,~-1}_{s_2\text{ mal}},~\underbrace{1,~1,~1}_{s_3\text{ mal}},~\underbrace{-1,~-1,~-1,~-1,~-1,~-1}_{s_4\text{ mal}},\ldots \end{eqnarray}$ leistet das Verlangte, denn $\begin{eqnarray} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ ist offensichtlich beschränkt und es gilt: $\begin{eqnarray} \frac 13\sum_{k=1}^3a_k=-\frac 13, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac 16\sum_{k=1}^6a_k=\frac 13, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac 1{12}\sum_{k=1}^{12}a_k=-\frac 13,~\ldots \end{eqnarray}$ und allgemein $\begin{eqnarray} \frac1{s_n}\sum_{k=1}^{s_n}a_k=(-1)^n\frac 13,~n\geq 3. \end{eqnarray}$ Es gibt also mindestens 2 verschiedene Häufungspunkte und somit kann keine Cesaro-Konvergenz vorliegen. Das ist natürlich alles noch formal zu beweisen, was vermutlich etwas frickelig ist, so dass ich dies nur für mindestens 10 Zusatzpunkte auf mich nehmen würde...
21.10.2010, 18:46	lakritzstange	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe dieselbe Übungsaufgabe. Auf unserem Übungsblatt gibt das auch 10 Zusatzpunkte:-) Vielen Dank für das Beispiel. Ich bekomme den Beweis aber nicht wirklich gut hin. Lg Lakritzstange

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