Raum der stetigen Funktionen nicht vollständig

20.10.2010, 08:43

chrizke

Raum der stetigen Funktionen nicht vollständig

Hi,

ich bin auf der Suche nach einem Beispiel, dass der Raum $\begin{eqnarray*} C^0([a,b],\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ bzgl. der Norm, die dieses Skalarprodukt induziert:

$\begin{eqnarray*} (f,g) := \int\limits_a^b \! f(x)\cdot g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

nicht vollständig ist.

Ich hatte mal eines in meinen Unterlagen, aber ich kann es leider nicht wiederfinden unglücklich

20.10.2010, 11:38

Mazze

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Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Such dir eine konvergente Funktionenfolge deren Grenzwert nicht in C^0 liegt. Dann hast Du dein Gegenbeispiel.

Eine Frage, rechnest Du im Quotientenraum bezüglich der entsprechenden Nullmengen? Wenn nicht kannst Du zu jeder konvergenten Folge unstetige Grenzwerte finden, indem Du die Grenzwerte nur auf Nullmengen änderst.

20.10.2010, 12:02

chrizke

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$\begin{eqnarray*} f_n=x^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wäre dann so eine?

20.10.2010, 12:58

Mazze

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Für n gegen unendlich konvergiert das Ding doch gegen die Konstante 1-Funktion wenn $\begin{eqnarray*} 0 \notin [a,b] \end{eqnarray*}$ . Zudem würde ich eher keine Wurzelfunktion nehmen , da Du keine Angaben zu a,b gemacht hast.

Ich hab eher an sowas $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x^n \end{eqnarray*}$ gedacht. Diese ist ein beispiel für a = 0 und b = 1. Du müsstest das ganze Ding auf [a,b] Strecken/Stauchen etc.

20.10.2010, 13:02

chrizke

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Ach ja, args, der Bruch hat da eigentlich nix verloren. Hammer

Danke für die Korrektur!!

20.10.2010, 14:41

Leopold

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Fürs Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ hätte man doch die Abstandsdefinition

$\begin{eqnarray*} \varrho(f,g) = \left( \int_0^1 \left( f(x) - g(x) \right)^2~\dd x \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Und mit $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0(x) = 0 \end{eqnarray*}$ (Nullfunktion) würde folgen:

$\begin{eqnarray*} \varrho \left( f_n , 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{2n + 1}} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{eqnarray*}$

Im Sinne der durch die Metrik induzierten Topologie gälte also $\begin{eqnarray*} f_n \to 0 \end{eqnarray*}$ .

Oder sehe ich da etwas falsch? verwirrt

20.10.2010, 15:27

Huggy

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Der Raum ist doch dann nicht vollständig, wenn es eine Funktionenfolge gibt, die bezüglich der Metrik konvergiert, deren Grenzfunktion aber nicht in dem Raum liegt, also unstetig ist. Da kann man leicht ein Beispiel konstruieren.

Sei [a, b]= [-1, 1] und n eine natürliche Zahl. Sei

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für x > 1/n
$\begin{eqnarray*} f_n(x) = -1 \end{eqnarray*}$ für x < -1/n
$\begin{eqnarray*} f_n(x)= nx \end{eqnarray*}$ für x in [-1/n, 1/n]

Alle $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ sind stetig und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ||f_n||^2=2 \end{eqnarray*}$

Die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f_{\infty} \end{eqnarray*}$ ist aber offensichtlich unstetig.

20.10.2010, 16:15

Leopold

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@ Huggy

Ich finde deine Argumentation problematisch. Von welcher Konvergenz in welchem Raum ist da jeweils die Rede?

So konvergiert die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x^n, \ x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ von vorhin im Sinne der Metrik $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ durchaus gegen die Nullfunktion, obwohl die Grenzfunktion im klassischen Sinn unstetig ist (oder habe ich mich da vertan?). Und so würde diese Folge nicht für das gesuchte Gegenbeispiel passen.

Jetzt scheint das bei deinem Beispiel anders zu sein. Aber wie begründet man das streng? Zunächst einmal müßte man doch nachweisen, daß deine Folge eine Cauchy-Folge ist, was nicht schwer ist. Aber um zeigen, daß sie keinen Grenzwert hat, kann man, finde ich, nicht argumentieren, daß die Grenzfunktion im klassischen Sinn unstetig ist (siehe oben). Denn das schließt ja nicht aus, daß es eine andere stetige Funktion gibt, die Grenzwert der Funktionenfolge ist. Zumindest müßte man die verschiedenen Topologien miteinander in Beziehung setzen und nachweisen, daß keine andere Funktion als Grenzfunktion in Frage kommt.

20.10.2010, 16:54

Huggy

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Zitat:

Original von Leopold
@ Huggy
Ich finde deine Argumentation problematisch. Von welcher Konvergenz in welchem Raum ist da jeweils die Rede?

Das ist ein guter Einwand! Ich habe die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge der Konvergenz im Sinne der Norm gegenübergestellt. Wenn ich das richtig sehe, ist dein Beispiel recht ähnlich.
Kann man auf so eine Gegenüberstellung verzichten? Die Stetigkeit verlangt doch zwingend einen punktweisen Vergleich von Funktionen oder?

20.10.2010, 17:07

Leopold

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Vielleicht könnte man es ja so machen: Angenommen, deine Folge hätte einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Sinne der durch die Norm induzierten Topologie, dann weise man für dieses $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die folgende Eigenschaft nach:

In jeder noch so kleinen Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Funktionswerte vom Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ wie vom Wert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch zur Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ !

verwirrt

20.10.2010, 17:34

Huggy

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@Leopold
Das erscheint mir vernünftig.

Aus meiner Sicht hast du die Problematik schon vorher auf den Punkt gebracht. Es geht um die Kompatibilität zweier unterschiedlicher Grenzprozesse. Zum einen die Konvergenz im Sinne einer Norm, zum anderen die Konvergenz im Sinne der Stetigkeit. Dabei sehe ich das letztere als identisch zur punktweisen Konvergenz!?

Wenn man das so betrachtet, erscheint es fast trivial, dass im Sinne der Norm identische Funktionen sich punktweise unterscheiden können.

20.10.2010, 17:43

Leopold

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Ich gehe einmal heuristisch an die Sache heran.

Stetigkeit, Konvergenz und so weiter haben ja immer etwas mit Nachbarschaft und Nähe zu tun. Wann liegen also $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ nahe beieinander? Und da wir es hier mit einem normierten Vektorraum zu tun haben, können wir das reduzieren auf die Frage: Wann liegt eine Funktion nahe bei der Nullfunktion?

$\begin{eqnarray*} f \approx 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \| f \| \approx 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \int_{-1}^1 \left( f(x) \right)^2~\dd x \approx 0 \end{eqnarray*}$

Ich zögere jetzt aber zu sagen, daß Letzteres der Fall ist, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im klassischen Sinn fast die Nullfunktion ist. Man könnte sich ja eine Funktion vorstellen, die an einer Stelle eine sehr hohe, aber extrem schmale Spitze besitzt und ansonsten nahe der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse verläuft. Dann kann immer noch das Integral einen sehr kleinen Wert annehmen.

So etwas Ähnliches hast ja auch du gemacht. Das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ - \frac{1}{n} , \frac{1}{n} \right] \end{eqnarray*}$ spielt für den Flächeninhalt keine Rolle mehr, wenn $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ geht.

Wo sind denn die Fachleute für Funktionalanalysis? Wahrscheinlich werden die sagen: Ist doch alles trivial ...

20.10.2010, 17:53

gonnabphd

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Zitat:

Das sagt doch schon alles.

Interessanter Fakt:

Aus der Konvergenz in der 2-Norm folgt nicht die Konvergenz punktweise fast überall (auch nicht für stetige Funktionen). Es gibt Folgen, welche überall punktweise divergieren, obwohl sie in der 2-Norm konvergieren. Siehe hier z.B...

20.10.2010, 17:58

Huggy

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Zitat:

Original von Leopold
Wo sind denn die Fachleute für Funktionalanalysis? Wahrscheinlich werden die sagen: Ist doch alles trivial ...

Das ist auch eine gute Frage! Mal sehen, ob sich da jemand meldet. Ich bin ja mehr ein Generalist, also jemand, der von vielem ein wenig versteht. Was bei genauerer Betrachtung bedeutet, von fast allem verstehe ich fast nichts

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