[Analysis] Indirekter Bweis durch Widerspruch

20.10.2010, 15:47	FreeWilly	Auf diesen Beitrag antworten »
[Analysis] Indirekter Bweis durch Widerspruch Meine Frage: Hallo, Ich glaube ich steh aufm Schlauch. Folgende Aufgabe: "Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{7} \end{eqnarray}$ keine rationale Zahl ist. Warum kann man keinen analogen Beweis für die Aussage $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8}\not\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ führen. An welcher Stelle ist er falsch?" Meine Ideen: Also $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{7}\not\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ lässt sich ja einfach beweisen, indem ich zeige, dass die Negation der Aussage zu einem Widerspruch führt. Also wenn ich von der Annahme $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{7}\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ ausgehe, muss es teilerfremde $\begin{eqnarray} a{,}b\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ geben, für die gilt: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}=\sqrt[3]{7} \end{eqnarray}$ . Durch Umformungen erhält mann dann: $\begin{eqnarray} 7a^3=b^3 \end{eqnarray}$ . Da ersichtlich ist, dass $\begin{eqnarray} a^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^3 \end{eqnarray}$ durch 7 teilbar sind müssen auch $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ durch 7 teilbar sein. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Annahme, da $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ teilerfremd sein müssen. Also ist $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{7} \end{eqnarray}$ irrational. Meiner Meinung nach müsste das so stimmen, allerdings kann ich mir dann nicht erklären, warum man das dann nicht analog für $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8} \end{eqnarray}$ durchziehen kann.
20.10.2010, 15:50	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ ist keine Primzahl!
20.10.2010, 15:54	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Analysis] Indirekter Bweis durch Widerspruch $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8}=2 \end{eqnarray}$ Da hakt's
20.10.2010, 16:23	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Für eine Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} p\|b^n \Rightarrow p\|b \end{eqnarray}$ und genau das benutzt du im Beweis...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »