Bestimmung einer komplexen Zahl für eine Gleichung

20.10.2010, 17:29

CooCoo

Bestimmung einer komplexen Zahl für eine Gleichung

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

ich habe eine Aufgabe bekommen mit der ich irgendwie nicht weiter komme:

iz^{2} +3iz+i+3=0

Und für diese Gleichung soll ich alle komplexen Zahlen bestimmen.

Meine Ideen:
Ich habe mir nun folgende Ansätze überlegt:

1.) durch i dividieren: z^{2} +3z+1+\frac{3}{i} =0
2.) z^{2} +3z+1-3i=0
3.) Ich würde nun die p - q - Formel anwenden: p = 3z und q = 1 - 3i
4.) Die Werte nun einsetzen. -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{3^{2} }{4} - \left(1-3i\right) }
5.) Nach der Umformung habe ich folgendes ergebnis raus: -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4} + 3i}
6.) z wäre damit: \frac{5}{4} + 3i
7.) und IzI (also der Betrag von z): \sqrt{\frac{25}{16} + 9}

So und nun meine Frage: Was mache ich nun weiter, wie kann ich nun alle komplexen Zahlen bestimmen?

Ich würde mich sehr über eine Antwort von euch freuen!

Liebe Grüße, CooCOo

20.10.2010, 17:40

BelleMaundrell

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Ich habe das Latex vergessen ...
Ich habe mir nun folgende Ansätze überlegt:

1.) durch i dividieren: $\begin{eqnarray*} z^{2} +3z+1+\frac{3}{i} =0 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} z^{2} +3z+1-3i=0 \end{eqnarray*}$
3.) Ich würde nun die p - q - Formel anwenden: p = 3z und q = 1 - 3i
4.) Die Werte nun einsetzen. $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{3^{2} }{4} - \left(1-3i\right) } \end{eqnarray*}$
5.) Nach der Umformung habe ich folgendes ergebnis raus: $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4} + 3i} \end{eqnarray*}$
6.) z wäre damit: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} + 3i \end{eqnarray*}$
7.) und IzI (also der Betrag von z): $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{25}{16} + 9} \end{eqnarray*}$

So und nun meine Frage: Was mache ich nun weiter, wie kann ich nun alle komplexen Zahlen bestimmen?

Ich würde mich sehr über eine Antwort von euch freuen!

Liebe Grüße, CooCOo

20.10.2010, 18:51

corvus

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RE: Ich habe das Latex vergessen ...

Zitat:

Original von BelleMaundrell

2.) $\begin{eqnarray*} z^{2} +3z+1-3i=0 \end{eqnarray*}$

3.) Ich würde nun die p - q - Formel anwenden: p = 3z und q = 1 - 3i

4.) Die Werte nun einsetzen. $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{3^{2} }{4} - \left(1-3i\right) } \end{eqnarray*}$

5.) Nach der Umformung habe ich folgendes ergebnis raus: $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4} + 3i} \end{eqnarray*}$

6.) z wäre damit: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} + 3i \end{eqnarray*}$ unglücklich

....................... nein .. wie kommst du denn auf diese Idee ? unglücklich

du suchst doch die Lösungen z von

$\begin{eqnarray*} \left(z+\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5+12i}{4} z_1= ? z_2=? \end{eqnarray*}$

also nochmal: ....

smile

20.10.2010, 19:12

BelleMaundrell

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RE: Ich habe das Latex vergessen ...
Guten Abend,

danke für deine Antwort ...

Zitat:

du suchst doch die Lösungen z von

$\begin{eqnarray*} \left(z+\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5+12i}{4} z_1= ? z_2=? \end{eqnarray*}$

Wo kommt das denn her? Oh man, jetzt bin ich überfragt :o)

20.10.2010, 19:24

corvus

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RE: Ich habe das Latex vergessen ...
5.) Nach der Umformung habe ich folgendes ergebnis raus:

z1/2 = $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4} + 3i} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von BelleMaundrell

$\begin{eqnarray*} \left(z+\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5+12i}{4} z_1= ? z_2=? \end{eqnarray*}$

Wo kommt das denn her? Oh man, jetzt bin ich überfragt :o)

aber das ist doch genau das , was du in deiner Nummer 5) stehen hast
(nur hast du dort noch die Wurzel gezogen)

ok?

20.10.2010, 19:45

BelleMaundrell

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RE: Ich habe das Latex vergessen ...

Zitat:

Original von corvus
5.) Nach der Umformung habe ich folgendes ergebnis raus:

z1/2 = $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4} + 3i} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von BelleMaundrell

$\begin{eqnarray*} \left(z+\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5+12i}{4} \end{eqnarray*}$

aber das ist doch genau das , was du in deiner Nummer 5) stehen hast
(nur hast du dort noch die Wurzel gezogen)

Ja klar :o)

Aber warum schreibst du dann einfach:

$\begin{eqnarray*} \left(z+\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5+12i}{4} \end{eqnarray*}$

Du nimmst einfach das "p" - $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ summierst das zu "z" und das ganze quatrierst du, aber warum?

Das ergibt für mich keinen Sinn ...

Und wie bekomme ich dann hier $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ raus :o(

Einfach nach z umstellen??

Ich stehe gerade auf einem meterdicken Rohr ... Hammer

20.10.2010, 20:03

corvus

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RE: Ich habe das Latex vergessen ...

Zitat:

Original von BelleMaundrell

Aber warum schreibst du dann einfach:

$\begin{eqnarray*} \left(z+\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5+12i}{4} \end{eqnarray*}$

Du nimmst einfach das "p" - $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ summierst das zu "z" unglücklich

und das ganze quatrierst du, aber warum?
Das ergibt für mich keinen Sinn ... Gott

1) wer hat dir diese Aufgabe "angedreht"?

2) der Weg ist gerade umgekehrt:
du hast die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{2} +3z+1-3i=0 \end{eqnarray*}$

so .. und nun: hast du schon mal gerüchtweise von "quadratischer Ergänzung" gehört?

geht so:
$\begin{eqnarray*} z^{2} +3z+? = ? - (1-3i) \left(z+\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} - (1-3i) = \frac{5+12i}{4} \end{eqnarray*}$

3) und den Bruch auf der rechten Seite habe ich dir so notiert, damit du siehst,
dass du dann 13/4 ausklammern kannst .. und so dann die Polarformdarstellung
sofort erhältst..

usw..

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