Was ist: Normalenvektor / Normalenform?

20.10.2010, 17:30

Pritt

Was ist: Normalenvektor / Normalenform?

könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
Ich verstehe nicht, wie ich z.B. von der Parameterform in die Normalenform kommen kann.

Es gibt ja auch verschiedene Schreibweisen der Normalenform, welche mir auch unklar sind.

Wäre super wnen mir das jemand erläutern könnte smile

20.10.2010, 17:58

lgrizu

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RE: Was ist: Normalenvektor / Normalenform?
sagt dir das kreuzprodukt etwas?

kreuzprodukt der spannvektoren bilden, dann erhälst du den normalenvektor.

kannst mal hier schauen...

21.10.2010, 03:19

aleph_math

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RE: Was ist: Normalenvektor / Normalenform?

Zitat:

Original von lgrizu
... kreuzprodukt der spannvektoren bilden, dann erhälst du den normalenvektor.

Das ist richtig, gilt aber nur in der Ebene. Bei Geraden gibt's nur 1 Richtg.- vektor, damit gibt's keine Produkte.. unglücklich

Weiter hilft dann der sog." Normalenvektor" (daher die "Norm.form") senkrecht (orthogonal) zum Richtungsvekt. Wegen $\begin{eqnarray*} \vec u\cdot\vec n=0 \end{eqnarray*}$ (mit: $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ als Richt.vektor) gilt dann:
Der einfachste Norm.vektor $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist der Vektor $\begin{eqnarray*} (v_2,-v_1) \end{eqnarray*}$ u. im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (v_2,-v_1,0) \end{eqnarray*}$ (d. Einfach. halber als Zeilenvekt.).

Das Skalarprod. $\begin{eqnarray*} \vec x\cdot\vec n=0 \end{eqnarray*}$ liefert dann die Norm.form (Geradengl. y = m.x + t).

Ein Buch, das mir sehr gut gefallen hat, ist übr. "Alfred Hilbert (nach dem der "Hilbert-Raum" benannt ist!): Taschenbuch Mathem. Grundlagen, Bd.2, Deutsch Verlag"

Viel Erfolg! Wink

21.10.2010, 03:40

Cugu

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Zitat:

Alfred Hilbert (nach dem der "Hilbert-Raum" benannt ist!)

Man kann ürbigens aus zwei linear unabhängigen Vektoren $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} w=u-\frac{\langle u,v \rangle}{\|v\|}v \end{eqnarray*}$ zwei orthogonale Vektoren $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ erhalten.
Das kann man auch auf mehrere Vektoren ausdehnen.

Zitat:

Es gibt ja auch verschiedene Schreibweisen der Normalenform, welche mir auch unklar sind.

Was sind das denn für Schreibweisen?

21.10.2010, 10:19

lgrizu

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der hilbert-raum ist nach dem mathematiker david hilbert benannt unglücklich

es ist richtig, im R^2 kann man natürlich kein kreuzprodukt bilden, ich denke, dass aber geradengleichungen im R^2 selten probleme bereiten.....

@pritt:
um was geht es denn genau, ebenengleichungen im R^3 oder geradengleichungen im R^2, mit deren normalenform du probleme hast.
vielleicht können wir das auch anhand einses beispiels zusammen durchrechnen....

21.10.2010, 16:01

aleph_math

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Zitat:

Original von lgrizu
der hilbert-raum ist nach dem mathematiker david hilbert benannt unglücklich

..ebenengleichungen im R^3 oder geradengleichungen im R^2...

1) Ich weiss, nur wollt' ich der Einfach. halber nicht nur wie sonst die Wörter, sond. den Sachverh. selbst abk.; da m.W. David H. der Vater von Alfred H. war, bleibt's in der Familie u. das Renommé erhalten. Und nur auf letzteres wollt' ich hinweisen! Freude

Zur Erinn.: m.W. ist ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Hilbert-R., wenn die Konjug. einer Matrix aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gleich der Transpon. dieser Matrix ist, diese also orthogonal ist; stimmt's? Ist lang her u. ausserd. für'n Physiker reichlich akademisch.

Das zit. Buch heisst übrig. genauer: "... Taschenb. Grundlagen der Höheren Math. ...". Die ursprüng. Ausg. ist von 1986, das wird vielen hier wie aus der Steinzeit vorkommen; es gibt mittlerw. eine (gebund.) Zusammenfassung & Überarb. "A. Hilbert: Grundlagen d. Mathematik" von 1998. Bei Amazon gibt's gebrauchte Exemp. ab € 3-4.-(!) M.M. unbedingt empfehlenswert! Freude

2) Selbstverst. gibt's auch im R^3 Geraden! Oder nicht?

Zitat:

Orig. "cugu"

Zitat:

Orig. "pritt" ..Es gibt ja auch verschiedene Schreibweisen der Normalenform, welche mir auch unklar sind.

Was sind das denn für Schreibweisen?

Ich würde meinen: "normale" Form & "Hessesche" Form; sonst kenn' ich auch keine and. Formen..

Zitat:

aleph...
...mit: $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ als Richt.vektor) gilt dann:
Der einfachste Norm.vektor $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist der Vektor $\begin{eqnarray*} (v_2,-v_1) \end{eqnarray*}$ u. im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (v_2,-v_1,0) \end{eqnarray*}$ (d. Einfach. halber als Zeilenvekt.).

Statt der v-Kompon. sind nat. u-Komp. zu nehmen!

Zitat:

aleph...
Das Skalarprod. $\begin{eqnarray*} \vec x\cdot\vec n=0 \end{eqnarray*}$ liefert dann die Norm.form (Geradengl. y = m.x + t).

Dass das "Cugu" nicht aufgefallen ist.. geschockt

"=0" gilt nat. nur bei Geraden bzw. Ebenen durch den Ursprung! Allgem. kommt der Ortsvekt. des Fixpunktes hinzu, also: $\begin{eqnarray*} \vec x\cdot\vec n=\vec a\cdot\vec n \end{eqnarray*}$ . Sorry, mea culpa! unglücklich

NiFU & alles Gute! Wink

21.10.2010, 17:14

Cugu

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Auch wenn es mit der Frage nichts zu tun hat:
Hilberträume sind vollständige Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit Skalarprodukt. Zum Beispiel sind $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt Hilberträume.
Physiker glauben übrigens, dass ein quantenmechanisches System durch Zustandsvektoren eines unitären Vektorraums (also über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ) beschrieben werden kann. Matrizen gibt es da jedenfalls nicht...

Zitat:

Allgem. kommt der Ortsvekt. des Fixpunktes hinzu, also: $\begin{eqnarray*} \vec x\cdot\vec n=\vec a\cdot\vec n \end{eqnarray*}$

Ich wusste weder was die Dimension des Raumes, was die Dimension bzw. Codimension des Objekts noch was $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein sollte.
Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Richtungsvektor einer Geraden ist, dann gilt sicherlich $\begin{eqnarray*} \langle x,n \rangle =0 \end{eqnarray*}$ . Wenn die Gerade durch $\begin{eqnarray*} x=a+\lambda u \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann gilt natürlich $\begin{eqnarray*} \langle x,n \rangle=\langle a,n \rangle. \end{eqnarray*}$

----------------

Ich glaube weiterhin, dass es um Ebenen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ geht. Es wäre hilfreich, wenn Pritt die verschiedenen Schreibweisen einmal angibt, dann kann die auch jemand erläutern. smile

21.10.2010, 20:42

aleph_math

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Zitat:

Original von Cugu
... Hilberträume sind vollständige Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit Skalarprodukt. ...

Ich "stehe nicht an" (wie man bei uns gern sagt), das Gegenteil zu behaupten, aber irgendwas war da schon mit dem Transpon. u. Orthogon. etc., was ich geschrieben hab' ... Viell. nicht bei Hilbert, aber irgendwo bestimmt! Ist freilich schon über 30 J. her... Augenzwinkern

Zitat:

Physiker glauben übrigens, dass ein quantenmech. System durch Zustandsvektoren eines unitären Vektorraums (also über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ) beschrieben werden kann. Matrizen gibt es da jedenfalls nicht...

Was sind Tensoren sonst? (Zumind. in der Handhabg.)

Zitat:

aleph... Allgem. kommt der Ortsvekt. des Fixpunktes hinzu, also: $\begin{eqnarray*} \vec x\cdot\vec n=\vec a\cdot\vec n \end{eqnarray*}$

Ich wusste weder was die Dimension des Raumes, (..) des Objekts, noch was $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein sollte.
Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Richtungsvektor einer Geraden ist, dann gilt sicherlich $\begin{eqnarray*} \langle x,n \rangle =0 \end{eqnarray*}$ . Wenn die Gerade durch $\begin{eqnarray*} x=a+\lambda u \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann gilt natürlich $\begin{eqnarray*} \langle x,n \rangle=\langle a,n \rangle. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sollte nat. (übl. Notation!) der beschreib. Ortsvekt. des/eines Punktes auf bzw. in der Geraden bzw. Ebene sein. Als Richtg.vekt. hätt' ich (s. weiter oben bzw. in and. Beiträgen) $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ o.ä. gesagt. Für die Parameterform hab' als nächstlieg. genau die ob. Darstell. (s. Zitat) im Sinn.

Wie immer kolleg. Grüsse! Wink

21.10.2010, 21:32

Cugu

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So, das erörtern wir nun auch untereinander, so dass Pritt sich zu

Zitat:

@pritt: um was geht es denn genau, ebenengleichungen im R^3 oder geradengleichungen im R^2, mit deren normalenform du probleme hast. vielleicht können wir das auch anhand einses beispiels zusammen durchrechnen....

äußern kann.

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