Lemma (Vererbung)

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20.10.2010, 19:21	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
Lemma (Vererbung) Hallo, Ich soll das folgende Lemma beweisen (wie es richtig heißt, kann ich nicht sagen) Seien f: A --> B und g: B --> C Abbildungen. Wenn beide Abbildungen injektiv (surjektiv, bijektiv) sind, so gilt das auch für ihr Produkt g ° f. Mein Problem ist ich weiß bei Beweisen nie, wie ich richtig anfangen bzw. verfahren soll, damit am Ende auch etwas logisches rauskommt. Und dann bin ich mir nie sich, ob das der Beweis ist. Hat jemand eine Idee? Danke schonmal
20.10.2010, 19:25	leithian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, am besten machst du dir die Definitionen nochmal klar und fängst dann erstmal an .... Seien $\begin{eqnarray} f:\ A \ \to \ B \ , \ \ g: \ B \ \to \ C \ \text{injektiv} \end{eqnarray}$ und guckst dann mal was für Injektivität von $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ gelten muss und wie du die Injektivität von f und g benutzen kannst. mfg
21.10.2010, 14:14	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also angefangen hab ich. Bedeutet das Lemma, dass ich die drei einzelnen Fälle beweisen muss? Also einmal eine injektive, einmal eine surjektive und einmal eine bijektive? Ja oder? Ich weiß meine Frage sind blöd, aber ich steig da nicht so ganz hinter. Mein erster Beweis wäre jetzt: $\begin{eqnarray} \forall a\in A: f:A --> B \end{eqnarray}$ das heißt: $\begin{eqnarray} f(a)=B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g:B --> C \end{eqnarray}$ heißt: $\begin{eqnarray} g:f(a)--> C \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} g(f(a)) = g°f injektiv \end{eqnarray}$ Ist das richtig?
21.10.2010, 14:42	leithian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja das Lemma macht eine Aussage über 3 Fälle, die du hier gesondert beweisen musst- bzw der Bijektivie Fall folgt sofort aus injektiv + surjektiv per Definition. ich weiß nicht genau was du versuchst auszudrücken aber richtig wäre der Injektivitätsfall: Beweis: Seien $\begin{eqnarray} f: \ A \to \ B , \ g: \ B \to \ C \end{eqnarray}$ injektiv, sei $\begin{eqnarray} g \circ f(x) = g \circ f(y), \ x,y\in A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow g(f(x))=g(f(y)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x)=f(y) \end{eqnarray}$ ,da g injektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow x=y \end{eqnarray}$ ,da f injektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow g \circ f \end{eqnarray}$ injektiv also im Prinzip einfach Definition nachprüfen. Wie lautet also nun die Definition von Surjektivität? mfg
21.10.2010, 15:57	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok...das macht Sinn. So langsam dämmerts hoffe ich. Ich versuchs mal: Seien $\begin{eqnarray} f:A \to B, g:B \to C \end{eqnarray}$ surjektiv, sei $\begin{eqnarray} g \circ f(a) = b, b \in B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow g(f(a) = b \end{eqnarray}$ , da g surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(a) = b \end{eqnarray}$ So? Oder völlig dran vorbei? Ich werd nich so zu 100% schlau aus diesem skript. Aber trotzdem schonmal wieder danke.
21.10.2010, 16:08	leithian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, um Surjektivität zu zeigen musst du ein $\begin{eqnarray} c\in C \end{eqnarray}$ nehmen und die Existenz von einem $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ zeigen, sodass $\begin{eqnarray} g \circ f(a)=c \end{eqnarray}$ dazu schreibt man $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ wieder als $\begin{eqnarray} g(f(\ )) \end{eqnarray}$ . Das sollte dich auf die Richtige Spur bringen - definiere nochmal Surjektivität von g und f mfg
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21.10.2010, 19:49	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaalso dann: seien $\begin{eqnarray} f: A \to B , g: B \to C \end{eqnarray}$ surjektiv sei $\begin{eqnarray} g \circ f(a) = c , c \in C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow g(f(a)) = c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow f(a) = c \end{eqnarray}$ Das bedeutet $\begin{eqnarray} \exists a \in A \to c \in C \end{eqnarray}$ Müsste dann so sein, oder?
21.10.2010, 21:10	leithian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bis $\begin{eqnarray} g(f(a))=c \end{eqnarray}$ ist es richtig; nun musst du zeigen dass $\begin{eqnarray} \exists \ a \in A :\ g(f(a))=c \end{eqnarray}$ also da g surjektiv $\begin{eqnarray} \exists b \in B: \ g(b)=c \end{eqnarray}$ und da f surjektiv $\begin{eqnarray} \exists a \in A : \ f(a)=g(b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \ \forall c\in \ C\ \exists a \in A: \ g\circ f(a)=c \end{eqnarray}$ daher ist $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ surjektiv. Guck dir die Definitionen nochmal genau an und mach dir va klar was die Pfeile bei den Abbildungen heißen, das scheint mir noch nicht klar zu sein. mfg
21.10.2010, 22:29	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also schonmal vielen Dank. Ich muss morgen 3h Zugfahren und werd mir das alles nochmal auf der Fahrt zu Gemüte führen. So richtig durchsehen tue ich, wie man vielleicht merkt, nämlich nich Is mehr son Topfschlagen im Minenfeld bei mir. Die anderen Aufgaben sehen eben auch nich wirklich besser aus. Ich versteh die Aufgabenstellungen schon nich...man man man... Also nochmals herzlichsten Danke für deine Bemühungen.
23.10.2010, 13:26	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal ne kure Frage... Wenn ich gerade die injektivität und die surjektivität bewiesen haben, dann ist das doch schon der beweis der Bijektion oder? Muss ich das nochmal exrtra machen, geht das überhaupt? Also es müsste doch reichen zu schreiben, dass es bijektiv ist, weil ddie Surjektivität und die Injektivität bewiesen worden sind. Oder?
23.10.2010, 16:21	leithian	Auf diesen Beitrag antworten »
ja :P , der bijektive Fall folg nach Definition von Bijektivität sofort aus den Aussagen über Injektivität und Surjektivität. mfg
23.10.2010, 20:21	Spleen	Auf diesen Beitrag antworten »
also da g surjektiv $\begin{eqnarray} \exists b \in B: \ g(b)=c \end{eqnarray}$ und da f surjektiv $\begin{eqnarray} \exists a \in A : \ f(a)=g(b) \end{eqnarray}$ Seh ich irgendetwas verkehrt oder behauptest du, dass f(a)=c ist? Wenn ich das so aneinander reihe, komme ich auf f(a)=g(b)=c. Korrigier mich, wenn ich mich täusche.

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