Würfeln

20.10.2010, 20:52

nils16

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Würfeln

Hallo

Wink

Habe folgende Aufgabe:
Ein 6-seitiger Würfel wird n-mal geworfen. Nun soll man einen Grundraum angeben und die 2 Ereignisse A und B als Teilmengen des Grundraumes angegeben.
A = "Die Augenzahl des ersten und n-ten Wurfs ist 1"
B= "Die Summe aller Augenzahlen ist ungerade"

Ok mein Ansatz:
Naja der Grundraum ist dann $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ={1,2,3,4,5,6}.
Aber wie schreibt man jetzt das Ereignis A als Teimenge von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ? Ist dann damit die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gemeint?

Viele Grüße
nils

20.10.2010, 20:59

Iorek

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Überdenk nochmal deinen Grundraum, der stimmt schon nicht. Du würfelst einen Würfel n-mal, was für ein kombinatorisches Modell solltest du nehmen?

20.10.2010, 21:16

nils16

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Ok der Grundraum besitzt doch die Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} 6^n \end{eqnarray*}$ oder? Also
wäre $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ={1......n}

20.10.2010, 21:20

Iorek

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Nein, das ist auch nicht der Grundraum. Ich würde mal eine Menge von Tupeln $\begin{eqnarray*} (\omega_1,\dots,\omega_n) \end{eqnarray*}$ vorschlagen, auch mit Hinblick auf den zweiten Aufgabenteil (ich verweise dazu nochmal auf die offene Frage nach dem Modell das zu wählen ist).

20.10.2010, 21:30

nils16

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Ach schade Big Laugh

Big Laugh

Und wieso wählst du das genau so und was bedeuten deine w1 bis wn?
nils

20.10.2010, 21:32

Iorek

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Das ist ja genau die Frage die es zu klären gilt...wie siehts denn mit dem Modell aus? Ohne das geklärt zu haben kommen wir nicht weiter, daraus ergibt sich dann auch, was wir $\begin{eqnarray*} \omega_1,\dots,\omega_n \end{eqnarray*}$ zuweisen.

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20.10.2010, 21:39

nils16

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Gehe davon aus dass das ein Model mit Wiederholung ist, bei dem die Reihenfolge egal ist?

20.10.2010, 21:51

Iorek

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Modell mit Wiederholung stimme ich zu, allerdings ist die Reihenfolge nicht egal, also bleibt ja nur eins übrig Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2010, 22:13

nils16

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Ok tippe dann mal das es ein Modell mit Wiederholung und mit Beachtung der Reihenfolge ist smile

smile

Dann hat man doch 6 Elemente aus denen man eben auswählen kann und das geschieht n-mal. Somit hat man $\begin{eqnarray*} 6^n \end{eqnarray*}$ Kombinationen?

20.10.2010, 22:16

Iorek

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Ja, viele andere Möglichkeiten gibt es da ja nicht mehr. Könntest du mit dem Wissen jetzt eine Menge für den Grundraum angeben?

20.10.2010, 22:34

nils16

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Lautet der dann nicht $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ={1,2,3....... $\begin{eqnarray*} 6^n \end{eqnarray*}$ }? Und falls nein warum nicht?

20.10.2010, 22:37

Iorek

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Wo steht der Exponent, noch innerhalb der Mengenklammer? Dann wäre es falsch, wenn du $\begin{eqnarray*} \{1,\dots6\}^n \end{eqnarray*}$ meinst, dann stimmt der Grundraum jetzt.

20.10.2010, 23:20

nils16

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Naja sowas ähnliches meinte ich auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt wäre also nach "vielen Versuchen" die Frage nach dem Grundraum geklärt.
Ist dann mit der Angabe der Ereignisse als Teilmengen des Grundraumes die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse gemeint?

20.10.2010, 23:26

Iorek

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Nein, du sollst jetzt eine Teilmenge des Grundraums angeben, die die angegebenen Ereignisse modelliert. Dazu würde ich dir raten, den Grundraum noch ein wenig umzuschreiben: $\begin{eqnarray*} \{1,\dots, 6\}^n=\{(\omega_1,\dots,\omega_n)~\mid~\omega_i\in\{1,\dots, 6\},~1\leq i \leq n \} \end{eqnarray*}$ , hier kommt jetzt das angesprochene Tupel ins Spiel.

21.10.2010, 18:37

nils16

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Ist dann $\begin{eqnarray*} \omega_1 \end{eqnarray*}$ ={1} und $\begin{eqnarray*} \omega_n \end{eqnarray*}$ ={1}
Und als Teilmenge des Grundraumes:
A= { $\begin{eqnarray*} \omega_2 \end{eqnarray*}$ ....... $\begin{eqnarray*} \omega_{n-1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \omega_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \omega_n \end{eqnarray*}$ }?

21.10.2010, 18:51

Iorek

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Zitat:

Original von nils16
A= { $\begin{eqnarray*} \omega_2 \end{eqnarray*}$ ....... $\begin{eqnarray*} \omega_{n-1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \omega_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \omega_n \end{eqnarray*}$ }?

Was soll denn das für eine Menge darstellen?

Du suchst jetzt eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A=\{\omega=(\omega_1,\dots,\omega_n)\in\Omega~|~A(\omega)\} \end{eqnarray*}$ definieren, wobei $\begin{eqnarray*} A(\omega) \end{eqnarray*}$ die jeweils geforderten Ereignisse beschreibt. Beim ersten Ereignis soll der erste und der letzte Wurf eine 1 sein, dein Gedanke mit $\begin{eqnarray*} \omega_1=\omega_n=1 \end{eqnarray*}$ war also schon richtig.

21.10.2010, 19:14

nils16

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Also happert's nur noch an der Notation?
Wie wär's mit A( $\begin{eqnarray*} \omega_1 \end{eqnarray*}$ )=1 und A( $\begin{eqnarray*} \omega_n \end{eqnarray*}$ )=1

21.10.2010, 22:09

Iorek

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Nein, du musst die Bedingung an das Tupel $\begin{eqnarray*} \omega=(\omega_1,\dots,\omega_n) \end{eqnarray*}$ stellen: $\begin{eqnarray*} A=\{\omega=(\omega_1,\dots,\omega_n)\in\Omega~|~\omega_1=\omega_n=1\} \end{eqnarray*}$ .

24.10.2010, 18:35

nils16

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Ok. Habe mir die Aufgabe noch einmal angesehen.
Angenommen ich möchte nun das Ereignis C darstellen mit C:= Die Augenzahl im ersten Wurf ist gerade. Stellt man dieses also dann so dar:
C={w=( $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ = 1}

Kann ich das Ereignis B dann ausdrücken durch
B={w=( $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n w_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,3,5} }?

nils

24.10.2010, 18:41

Iorek

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Zitat:

Original von nils16
C:= Die Augenzahl im ersten Wurf ist gerade. Stellt man dieses also dann so dar:
C={w=( $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ = 1}

Wenn die Augenzahl im ersten Wurf gerade sein soll, wie kommst du dann auf $\begin{eqnarray*} \omega_1=1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von nils16
Kann ich das Ereignis B dann ausdrücken durch
B={w=( $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n w_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,3,5} }?

nils

Nein, das von dir aufgeschriebene Ereignis wäre "Die Summe der Augenzahlen ist 1, 3 oder 5" (außerdem: wie soll bei mehr als 5 Würfen auch die Summe der Augenzahlen kleiner als 6 sein?). Versuch es mit einem Teilbarkeitsargument.

24.10.2010, 22:16

nils16

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Stimmt das wäre natürlich Quatsch Big Laugh

Big Laugh

Und was ist mit
C={w=( $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {2,4,6}} und

B={w=( $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n w_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {2k+1} mit k=0,...,n}

24.10.2010, 22:27

Iorek

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C bin ich jetzt mit einverstanden.

B ist aber noch immer nicht ganz richtig.

Sei n=2, Würfel 1 zeige eine 5, Würfel 2 eine 6, dann ist die Summe 11. Deine Menge B lässt aber als Ergebnis nur die Zahlen $\begin{eqnarray*} \{2k+1~|~k=0,1,2\}=\{1,3,5\} \end{eqnarray*}$ zu. Mach es über eine Teilbarkeitsaussage, welche Zahl ist kein Teiler der Summe der Augenzahlen?

24.10.2010, 22:45

nils16

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Naja eine gerade Zahl ist kein Teiler der Summe der Augenzahlen?

24.10.2010, 22:52

Iorek

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Und welche Zahl ist geradezu ein Musterbeispiel für eine gerade Zahl?

24.10.2010, 23:14

nils16

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Dann schätz' ich mal die 2

24.10.2010, 23:16

Iorek

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Ja, die 2 wird kein bzw. darf kein Teiler der Summe der Augenzahlen sein. Jetzt noch mathematisch als Bedingung verpacken und schon haben wir B da stehen.

24.10.2010, 23:49

nils16

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Kann man dann das bis hierher so stehen lassen
B= {w=( $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ ,..., $\begin{eqnarray*} w_n \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n w_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {2k+1}...?

30.10.2010, 00:00

nils16

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Könnte man es so schreiben
B = { $\begin{eqnarray*} w \in \sigma \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n w_i = k ; k \neq 2l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l \in IN \end{eqnarray*}$ }

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