(1 + 1/n)^n = e Beweis

20.10.2010, 22:25

Fetterchefkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

(1 + 1/n)^n = e Beweis

Meine Frage:
Hallo zusammen,
wir haben im Studium angenommen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to unendlich} (1 + \frac{1}{n})^n = e \end{eqnarray*}$ ist. Ich habe jetzt aber einen Beweis dafür gesucht, dass der Limes dieser Funktion auch wirklich gegen e strebt.

Meine Ideen:
Leider habe ich keinen Hilfreichen gefunden, ausser das man mit Bernoulli d'Hôpistal machen kann. Aber ich konnte mir nicht vorstellen, wie ich an diesem Beispiel Bernoulli anwenden soll. Falls jemand eine gute Idee hat wie ich es sonst lösen könnte oder auch am Bsp. Bernoulli wäre ich sehr dankbar smile

smile

.

Schonmal danke im voraus

20.10.2010, 22:27

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr die Eulersche Zahl denn definiert?

Edit: Die Anfangsfrage habe ich mal gestellt. Da ich mich nun verkrümel darf nun gerne jemand übernehmen.

air

20.10.2010, 22:45

Fetterchefkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: (1 + 1/n)^n = e Beweis
Wir haben die Zahl e einfach als Eulerische Zahl definiert. (Ehrlich gesagt bin ich grad ein bisschen überfragt, ich kann mich nicht daran erinnern, dass wir die Zahl speziell definiert haben)

20.10.2010, 22:51

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: (1 + 1/n)^n = e Beweis
deine aussage ist, ihr habt die zahl e als e definiert....
ihr müsst die zahl doch irgendwie eingeführt haben, wie willst du sonst zeigen, dass der grenzwert e ist?

20.10.2010, 23:02

Fetterchefkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Halt eben nicht wir haben gesagt die Funktion konvergiert... und wohin konvergiert sie denn? gegen die Zahl e. Also 2.71...

20.10.2010, 23:11

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

du verstehst mich falsch, du sollst doch zeigen, dass deine folge gegen e konvergiert, ich weiß aber nicht, wie du das tun willst, wenn du nicht sagen kannst, wie e aussieht.

e ist eine irrationale traszendente zahl, es ist nicht leicht, zu zeigen, dass die folge gegen e konvergiert, wenn wir nicht wissen, was e ist.

und mit 2,71.... ist da nicht weitergeholfen, denn wenn die folge gegen 2,71 konvergiert dann konvergiert sie ja gerade nicht gegen e, sondern gegen 2,71.

also, schau in dein script, wie e definiert wurde, also was wir benutzen dürfen....

Anzeige

21.10.2010, 00:04

Fetterchefkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt noch 2 Bilder eingefügt, was wir alles über die Eulerische Zahl haben. Jedoch ist mir Schleierhaft, wie ich dazu komme, dass ich aus a = b, e schliessen kann. Ich hoffe, dass dies jetzt geholfen hat.
[attach]16303[/attach][attach]16304[/attach]

21.10.2010, 00:52

TommyAngelo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da für jedes n die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2\leq a_n < b_n \leq 4 \end{eqnarray*}$ gilt und zusätzlich $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ monoton steigend und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ monoton fallend, gilt auch folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 2\leq \sup{a_n} \leq \inf{b_n} \leq 4 \end{eqnarray*}$

Und da der Abstand von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \frac{4}{n} \end{eqnarray*}$ und somit für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht, fallen Supremum und Infimum zusammen. Diese Zahl nennt man dann e.

Nachtrag:
Schau mal auf diese Seite: http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/thalle...m1/hm1se65.html
So kann man es auch zeigen.

21.10.2010, 08:58

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein =: bedeutet "definiert als". Du kannst hier also gar nichts beweisen, ihr habt e einfach als den obigen Grenzwert definiert.

21.10.2010, 14:33

Fetterchefkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kiste
Ein =: bedeutet "definiert als". Du kannst hier also gar nichts beweisen, ihr habt e einfach als den obigen Grenzwert definiert.

Genau das ist ja mein Problem. Ich hätte gern ein Beweis dafür, dass ich $\begin{eqnarray*} \lim_{1 \to unendlich} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ gegen e konvergiert. Wir haben dies halt nicht bewiesen in der Vorlesung und deshalb kann ich auch nicht sagen als was das wird e definiert haben, denn wir haben e als $\begin{eqnarray*} \lim_{1 \to unendlich} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ definiert.

Ich hoffe es ist irgendwie klar was ich damit sagen will. smile

smile

Edit:

Zitat:

Nachtrag:
Schau mal auf diese Seite: http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/thalle...m1/hm1se65.html
So kann man es auch zeigen.

danke noch für den Link hatte aber noch keine Zeit mir das in Ruhe durch zu überlegen.

21.10.2010, 14:42

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das kannst du nicht beweisen. Ihr habt es nunmal so definiert, also kannst du diese Form nicht mehr beweisen. Was man beweisen könnte/sollte ist das dieses e was ihr definiert habt bestimmte Eigenschaften hat die du mit e assozierst

21.10.2010, 14:52

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Fetterchefkoch

Ich erkläre dir die Problematik mal wie folgt:

Definiere k := 5. Jetzt beweise, dass k wirklich 5 ist.

air

21.10.2010, 14:57

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Fetterchefkoch

Genau das ist ja mein Problem. Ich hätte gern ein Beweis dafür, dass ich $\begin{eqnarray*} \lim_{1 \to unendlich} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ gegen e konvergiert. Wir haben dies halt nicht bewiesen in der Vorlesung und deshalb kann ich auch nicht sagen als was das wird e definiert haben, denn wir haben e als $\begin{eqnarray*} \lim_{1 \to unendlich} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ definiert.

Ich hoffe es ist irgendwie klar was ich damit sagen will. smile

smile

Sorry, aber dieser Kauderwelsch da oben verdeutlicht leider gar nichts.
Darauf will ich aber gar nicht rumreiten. Deshalb noch mal ganz deutlich:

In den angehängten Ausführungen wird zunächst mal gezeigt, dass die Folgen

$\begin{eqnarray*} a_n=\left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b_n=\left(1+\frac 1n\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

überhaupt konvergent sind und den gleichen Grenzwert besitzen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$ existiert also!

Und weil nun dieser Grenzwert recht bedeutungsvoll ist hat man ihm den schönen Namen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ gegeben.

Basierend auf dieser Definition kann man dann z.B. beweisen, dass:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}=e. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Fetterchefkoch
Edit:

Zitat:

Nachtrag:
Schau mal auf diese Seite: .kfunigraz.ac.at/imawww/thalle...m1/hm1se65.html
So kann man es auch zeigen.

danke noch für den Link hatte aber noch keine Zeit mir das in Ruhe durch zu überlegen.

Vergiss das!
Im vorliegenden Zusammenhang ist das eher verwirrend und außerdem habe ich noch nie gesehen, dass Integral und Log vor der Zahl e eingeführt wurden.

21.10.2010, 15:32

TommyAngelo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Vergiss das!
Im vorliegenden Zusammenhang ist das eher verwirrend und außerdem habe ich noch nie gesehen, dass Integral und Log vor der Zahl e eingeführt wurden.

Bei mir war das so in der 12. Klasse.

21.10.2010, 16:36

Fetterchefkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab heute noch meinen Analysis Assistenten gefragt ob man nun die Zahl e wirklich beweien kann. Jedoch wurde dann einfach hergeleitet, dass es halt noch andere Beispiele gibt, wie wir auf die Zahl e kommen. Man muss also zuerst wissen, dass man bei $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert von e bekommt.
Jedenfalls hab ichs gecheckt, dass es einfach ne Definition ist, die wir anwenden müssen.

Danke nochmals an alle die mir geholfen haben smile

smile

21.10.2010, 17:28

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Es gibt viele Darstellungen für die Zahl. Eine musst du heraniehen, um die Zahl zu definieren, die anderen kannst du dann daraus herleiten.

air

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »