Auswahl 2 Männer und 2 Frauen aus einer Gruppe mit 4M und 3F

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20.10.2010, 22:42	Gittetier	Auf diesen Beitrag antworten »
Auswahl 2 Männer und 2 Frauen aus einer Gruppe mit 4M und 3F Hallo, nun muss ich mir doch Hilfe suchen. Also, die Frage ist Folgende: Aus einer Gruppe mit sieben Personen (4 Männer und 3 Frauen) werden vier Personen ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kombination aus 2 Männern und 2 Frauen zu Stande kommt? Mein Ansatz: Also ich hab das Ganze einfach mal konkret ausgerechnet. Die Wahrscheinlichkeit möglicher Kombinationen ist Folgende $\begin{eqnarray} MMFF: \frac{4}{7} \frac{3}{6} \frac{3}{5} \frac{2}{4} = \frac{3}{35} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} MFMF: \frac{4}{7} \frac{3}{6} \frac{3}{5} \frac{2}{4} = \frac{3}{35} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} MFFM: \frac{4}{7} \frac{3}{6}\frac{2}{5} \frac{3}{4}= \frac{3}{35} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} FMMF: \frac{3}{7} \frac{4}{6} \frac{3}{5} \frac{2}{4} =\frac{3}{35} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} FMFM: \frac{3}{7} \frac{4}{6}\frac{2}{5} \frac{3}{4} =\frac{3}{35} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} FFMM: \frac{3}{7}\frac{2}{6}\frac{4}{5}\frac{3}{4} =\frac{3}{35} \end{eqnarray}$ Wenn mann all die Wahrscheinlichkeiten aufaddiert kommt man auf 18/35 und damit das richtige Ergebnis. Nun mit Formel => und da geht das Problem los. Also: Ich habe grundsätzlich (unter Berücksichtigung der Reihenfolge) 7!/3!=840 Möglichkeiten vier Personen aus sieben auszuwählen. Wie komme ich auf die Anzahl der möglichen Anordnungen von je zwei Männern und zwei Frauen? Ich würde mch sehr freuen, wenn jemand Zeit findet, mir das zu erklären. Vielen Dank schon vorab und berste Grüße Gittetier
21.10.2010, 02:50	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast bereits richtig gesagt: Es gibt $\begin{eqnarray} \frac{7!}{3!} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten 4 Personen aus einer Gruppe von 7 unter Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Wieviele Möglichkeiten gibt es ohne Beachtung der Reihenfolge? (Tipp: Es sind natürlich weniger, der bisherige Bruch muss noch "bereinigt werden. Wie?). Das sind dann alle Möglichkeiten 4 Personen aus 7 auszuwählen. Du suchst nun diejenigen günstigen Möglichkeiten, die 2 der 4 Männer und für jeden dieser Fälle 2 der 3 Frauen enthalten. Das "für jeden dieser Fälle" ist ein Hinweis auf die Verknüpfung der Möglichkeiten für die Männer und der Möglichkeiten für die Frauen. Und dann gilt Laplace: $\begin{eqnarray} P=\frac{\text{Anzahl günstiger Möglichkeiten}}{\text{Anzahl aller Möglichkeiten}} \end{eqnarray}$
21.10.2010, 14:34	Gittetier	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch gescheitert Hallo, habe diesen Weg ja auch probiert, bin aber gescheitert. Meine Berechnung: Grundmenge: 7!/3! = 5040/6 = 840 So, und nun die Verknüpfungen, (unter Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen) $\begin{eqnarray} Variation der Maenner: \frac{4!}{(4-2)!} = 12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Variation Frauen: \frac{3!}{(3-2)!} =6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Alle Moeglichkeiten: 612=72 \end{eqnarray}$ Und damit wäre die Wahrscheinlichkeit 72/840 = 3/35 = 0,0857 Das stimmt aber nicht. Das Richtige Ergebnis lautet 63/35= 18/35 = 0,5143 Wo kommt der Faktor 6 her?
21.10.2010, 14:57	Gittetier	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah noch ne Idee! Hehe. Wenn man mal die Frage richtig formuliert kommt man drauf!! Das oben stimmt schon alles. Es sieht allerdings jetzt so aus. Also, meine neue These: 1. Die Gesamtheit der möglichen Auswahlen ist 840. (Unter Berücksichtigung der Reihenfolge). 2. Nehmen wir an, die Männer hätten nicht das zeichen M, sondern die Nummerierung 1, 2, 3, 4 und die Frauen die Nummern 5, 6, 7. Dann kann habe ich für zwei Männer und zwei Frauen 72 mögliche Kombinationen (wie oben berechnet). 3. Nun kann ich aber die zwei Männer und die zwei Frauen noch unterschiedlich anordnen. Da Mann und Mann aber austauschbar sind, genauso wie Frau und Frau, habe ich nicht mehr 4! Möglichkeiten der Anordnung, sondern: 4!/(2!2!) = 24 / 4 = 6 4. Das heißt, ich muss meine 72 Kombinationen noch mit 6 Variationen mulitiplizieren. Oh, mir fällt noch eine viel leichtere Lösung ein!!!* 1. Man berechnet die Grundmenge, ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen: $\begin{eqnarray} \Omega=\frac{7!}{4!3!} = 35 \end{eqnarray}$ 2. Man berechnet die möglichen Kombinationen, die man aus der Männer- und der Frauengruppe jeweils zieht: $\begin{eqnarray} A= \frac{4!}{2!2!} \frac{3!}{2!1} = \frac{24}{4} 3 = 18 \end{eqnarray*}$ 3. und dann ganz einfach 18/35=0,5... Stimmt das alles irgendwie? Danke schonmal für deine hermeneutische Unterstützung. LG Gittetier
21.10.2010, 15:41	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die letzte Lösung ist genau die, die ich angestrebt habe dir näher zu bringen. Sehr gut. Aber am Ende so vieler Lösungs- und Nichtlösungswege muss man immer nochmal resümieren, warum die anderen falsch sind und "wie" falsch sie sind (also was fehlt, was ist zuviel?). Dein anderer Weg (mit Beachtung der Reihenfolge) ist garnicht so grundfalsch. Du hast allerdings berechnet: An der ersten Stelle steht einer der vier Männer. An der zweiten Stelle steht einer der verbliebenen drei Männer. An der dritten Stelle steht eine der drei Frauen. An der vierten Stelle steht eine der verbliebenen zwei Frauen. Also in diesem Fall MMFF (siehe deinen ersten Beitrag). Das deckt nicht alle günstigen Ereignisse ab. Wieviele Möglichkeiten gibt es nämlich in der Anordnung? Das ist genau der Faktor 6, der zum richtigen Ergebnis hin noch fehlt. Wie lautet der Faktor 6 korrekt ("allgemein") formuliert (deine Ausarbeitung im ersten Beitrag ist gute Grundlage, den Faktor zu erschließen).
21.10.2010, 17:11	Gittetier	Auf diesen Beitrag antworten »
k! Nicht wahr? Der Faktor 6 ist eigentlich 3! bzw. k! oder? Edit: Quatsch, warte mal. Ich war gerade einkaufen und bin ein bißchen raus. Der Faktor 6 ähhm näh, du hast Recht. Habs nicht verstanden. Ich muss nochmal kurz nachdenken.
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21.10.2010, 17:32	Gittetier	Auf diesen Beitrag antworten »
nachgedacht So, ich hab nachgedacht. Also eigentlich ist das ja die Anzahl der gesamten Anordnungsmöglichkeiten (k!) ohne diejenigen Fälle, bei denen ich zB. Frau gegen Frau austauschen kann. Hieße also: $\begin{eqnarray} \frac{k_{gesamt} !}{k_{Mann}!k_{Frau}!} = \frac{4!}{2!2!} \end{eqnarray}$ ??? Ich denke noch mal ein bißchen weiter ...
21.10.2010, 18:26	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ganz genau richtig. Du hättest für 4 Elemente auf 4 Plätze prinzipiell $\begin{eqnarray} 4! \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Es sind jedoch jeweils 2 Elemente nicht unterscheidbar. Das heißt $\begin{eqnarray} M_1M_2F_1F_2 \end{eqnarray}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray} M_2M_1F_1F_2 \end{eqnarray}$ . Die Möglichkeiten $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ auf zwei Plätze (die "Männerplätze, egal ob es die ersten beiden oder z.B. der zweite und der vierte sind) anzuordnen betragen $\begin{eqnarray} 2! \end{eqnarray}$ . Gleiches gilt nochmal jeweils für die Frauen. Also unterm Strich, wie du schon geschrieben hast: $\begin{eqnarray} \frac{4!}{2!2!} = {4 \choose 2} \end{eqnarray}$ . Unter Einsatz dieses Binomialkoeffizienten gilt auch für deine Mächtigkeiten: $\begin{eqnarray} \left\| \Omega \right\| = {7 \choose 3} = {7 \choose 4} \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \left\| A \right\| = {4 \choose 2} \cdot {3 \choose 2} = {4 \choose 2} \cdot {3 \choose 1} \end{eqnarray}$
21.10.2010, 19:26	Gittetier	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool! Danke Hey vielen Dank. Du machst das wirklich gut. So dass man hinterher auch was kapiert hat und nich nur so eine Lösung vorgesetzt kriegt. Danke!
22.10.2010, 05:18	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das Lob Aber ich sehe gerade, dass ich dich verwirrt habe. Ich habe in deinem dritten Post überlesen, dass du deinen ersten Ansatz schon selbst komplett ergänzt hast. Daher war mein Hinweis ihn zu bereinigen überflüssig, sogar verwirrend. Du hast alles richtig gemacht (und vor allem selbst gemacht!) und dich sogar nicht verwirren lassen.

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