Äquivalenzen beweisen (Mengen)

20.10.2010, 22:45

Blubbermensch

Äquivalenzen beweisen (Mengen)

Hallo!

Seien $\begin{eqnarray*} A,B,C \in P(M) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ist die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Nun muss man zeigen, dass diese Aussagen äquivalent sind:

(i) $\begin{eqnarray*} C \subset A \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} C \subset C \cap A \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} C = C \cap A \end{eqnarray*}$
(iv) Für jede beliebige Menge B gilt $\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$

(i) $\begin{eqnarray*} \implies \end{eqnarray*}$ (ii)

$\begin{eqnarray*} x \in C \subset A \Leftrightarrow x \in C \wedge x \in A \Leftrightarrow x \in C \wedge x \in C \wedge x \in A \Leftrightarrow x \in C \wedge x \in (C \wedge A) \Leftrightarrow C \subset (C \cap A) \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \implies \end{eqnarray*}$ (iii)

$\begin{eqnarray*} x \in C \subset C \cap A \Leftrightarrow x \in C \wedge x \in (C \cap A) \Leftrightarrow x \in C \wedge x \in C \wedge x \in A \Leftrightarrow C = C \cap A \end{eqnarray*}$

Sind diese zwei Implikationen korrekt?

Wenn nein, wo liegen die Fehler?

Und mit (iii) $\begin{eqnarray*} \implies \end{eqnarray*}$ (iv) und (iv) $\begin{eqnarray*} \implies \end{eqnarray*}$ (i) komme ich nicht zurecht. Woher soll ich denn da die Menge B nehmen? Bzw. wie kann ich sie einbringen? Kann mir da jemand einen Tipp posten?

Danke. smile

20.10.2010, 23:24

org

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RE: Äquivalenzen Beweisen (Mengen)
Hint: Wenn du Implikationen zeigen willst, dann benutz im Beweis kein Äquivalenzzeichen.

Der einfachste Weg für die Aufgabe ist i->iv->iii->ii->i

iv->iii: Wähle B geschickt.
i->iv: Klammern auflösen und $\begin{eqnarray*} C \subset A \end{eqnarray*}$ nutzen.

Restlichen Beweise sind einfach!

21.10.2010, 10:04

Blubbermensch

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Hallo,

danke für die Tipps.

Ich habe mich jetzt an i - iv versucht.

$\begin{eqnarray*} x \in (C \subset A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \in C \wedge x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \in (C \cup B) \wedge x \in A \end{eqnarray*}$ Wenn x in C enthalten ist, dann ja auch sicher in C vereinigt mit B.
$\begin{eqnarray*} \implies x \in C \vee x \in B \wedge x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \in C \vee x \in (B \wedge A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \in (C \vee B) \wedge x \in A \end{eqnarray*}$

Passt das soweit?

21.10.2010, 16:30

org

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Du musst doch zeigen, dass:
Für jede beliebige Menge B gilt $\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$
gilt.

Somit ist der Anfang " $\begin{eqnarray*} x \in (C \subset A) \end{eqnarray*}$ " schon falsch.

Klammern auflösen (du kennst die Regeln (Distributivgesetz), oder?)
$\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cup C = (A\cup C)\cap (B\cup C) \end{eqnarray*}$
Was ist $\begin{eqnarray*} (A\cup C) \end{eqnarray*}$ ? verwende dazu i.

Und dann immer weiter vereinfachen.

Danach dasselbe mit der anderen Seite.

22.10.2010, 08:42

Blubbermensch

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Ich dachte ich soll (i) -> (iv) zeigen. Also mit (i) anfangen und dann so umformen, dass am Ende (iv) da steht.
Oder was meintest du mit i -> iv -> iii -> ii -> i ?

Ich dachte, dass das so gemacht wird, aber dann habe ich dich wohl falsch verstanden.

22.10.2010, 13:21

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Zitat:

Original von Blubbermensch
Ich dachte ich soll (i) -> (iv) zeigen. Also mit (i) anfangen und dann so umformen, dass am Ende (iv) da steht.
Oder was meintest du mit i -> iv -> iii -> ii -> i ?

Ich dachte, dass das so gemacht wird, aber dann habe ich dich wohl falsch verstanden.

Das hast du schon richtig verstanden.

aber i->iv bedeutet:
Man zeigt die Eigenschaft iv, wenn i gilt.

Dein Ergebnis: $\begin{eqnarray*} x \in (C \subset A) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \implies x \in (C \vee B) \wedge x \in A \end{eqnarray*}$
zu zeigen ist: Für jede beliebige Menge B gilt $\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$

23.10.2010, 14:53

Blubbermensch

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Ah, jetzt habe ich verstanden, wie du das meinst. smile

Vor.: $\begin{eqnarray*} C \subset A \end{eqnarray*}$

Z.z..: $\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$

Bew.: $\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cup C = (C \cup A) \cap (C \cup B) = A \cap (C \cup B) = A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Und kannst du mir vielleicht sagen, wann man das macht, was ich zuerst versucht habe?

23.10.2010, 16:44

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Zitat:

Original von Blubbermensch
Ah, jetzt habe ich verstanden, wie du das meinst. smile

Ja, so kann man i->iv machen.

Zu dem von vorhin:

Zitat:

Original von Blubbermensch
Hallo,

danke für die Tipps.

Ich habe mich jetzt an i - iv versucht.

$\begin{eqnarray*} x \in (C \subset A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \in C \wedge x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \in (C \cup B) \wedge x \in A \end{eqnarray*}$ Wenn x in C enthalten ist, dann ja auch sicher in C vereinigt mit B.
$\begin{eqnarray*} \implies x \in C \vee x \in B \wedge x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \in C \vee x \in (B \wedge A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \in (C \vee B) \wedge x \in A \end{eqnarray*}$

Passt das soweit?

Du hast hier gezeigt (ich hab mir die Schritte nicht angeschaut), dass $\begin{eqnarray*} x \in (C \subset A) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \implies x \in (C \vee B) \wedge x \in A \end{eqnarray*}$ . Das heisst, was du da gezeigt hast ist $\begin{eqnarray*} C \subset (C \vee B) \wedge C \subset A \end{eqnarray*}$
Und das war doch nun wirklich nicht gefragt.

Ich denke, dass du da etwas verwechselt hast. Den Beweis in deinem letzten Post hättest du auch mit x in ... machen können und dann gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cup C \subset A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$ . Anschließend die umgekehrte Richtung.
Aber mit Distributivgesetzen ist das doch viel schöner, da schneller Big Laugh

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