Aufgabe zur Orthonormalbasis - Verständnisproblem

11.11.2006, 21:56	marjan	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Orthonormalbasis - Verständnisproblem Hi! Es geht um folgende Aufgabe...Wir haben 2 Vekotern gegeben bzgl der Basis a1;a2...Jetz sollten wir diese bestimmen bzgl der Basis b1;b2...So weit versteh ich es und habe auch eine Lösung raus. Aber warum komtm bei beiden x-Vektoren für die Längenbestimtm mti Skalarprodukt das gleiche raus?? Als Begründung steht hier, weil b1;b2 auch eine ONB ist. Aber ich versteh echt nich, warum das die gleiche Länge hat. Sind doch ganz andere Koordinaten udn alles. Hoffe ihr könnt mir das, vllt auch mit nem Bildm verständlich machen. Danke schonmal Gruß Marian
11.11.2006, 22:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zur Orthonormalbasis - Verständnisproblem Sind die Vektoren und der Basiswechsel "konkret" angegeben? Nicht jede Basis ist ONB. Kannst du also dine ... mit Daten füllen?
11.11.2006, 22:41	marjan	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, vektoren und basis sind angegeben: $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}; y=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b1=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}; b2=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
11.11.2006, 22:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnten wir die Basis a1, a2 noch ergänzen? Schreibe deine "Längenmessung" mit Skalarprodukt auch noch hin bitte. Denn es gibt ja nicht nur "ein" Skalarpodukt. Dann haben wir alles zusammen und können das Rätsel lösen
12.11.2006, 13:23	marjan	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a1 und a2 steht da nix, sind halt die "normalen" a1=(0 1) a2=(1 0) denk ich mal die längen sind für x=wurzel5; y=wurzel10
12.11.2006, 21:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \text{Seien } a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , a_2 =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\text{die Standardeinheitsvektoren des } \mathbb R^2. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ Durch die Vektoren } b_1=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, b_2=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ wird eine weitere Basis dieses V-Raums definiert.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Desweiteren seien 2 Vektoren }x_a=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}; y_a=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \text{bzgl. der Basis } a_1, a_2 \text { gegeben.} \end{eqnarray}$ Aufgaben 1. Bestimme die Darstellung von x,y bzgl. der neuen Basis 2. Bestimme ihre Länge Zum Vergleich $\begin{eqnarray} \|\|x_a\|\|_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}, \|\|y_a\|\|_2 = \sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10} \end{eqnarray}$ Transformationsmatrix des Basiswechsels $\begin{eqnarray} M_{ab}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit folgt: $\begin{eqnarray} x_b=\begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}; y_b=\begin{pmatrix} \frac{4\sqrt{2}}{2} \\ \frac{2\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit folgt: $\begin{eqnarray} \|\|x_b\|\|_2 = \sqrt{\frac{18}{4}+\frac{2}{4}} = \sqrt{5}, \|\|y_b\|\|_2=\sqrt{8+2}=\sqrt{10} \end{eqnarray}$ die antwort warum das gleiche rauskommt, schreibe ich morgen. Bin jetzt zu müde
Anzeige

13.11.2006, 19:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich hatte Dir ja versprochen nochmal zu schreiben. Ich bin jetzt nur ein wenig verunsichert, weil die Frage unter Schulmathematik gestellt hast. also verzeih mir, wenn ich zu undeutlich erkläre. nimm dir mal ein Blatt Papier und zeichne einen Punkt ein. Dann haben wir quasi einen 2dimensionalen Vektorraum und einen Ursprung gemalt. Jetzt zeichne wie gewohnt die x,y-Achsen durch den Ursprung. Dann haben wir dem Vektorraum eine erste Basis gegeben, die Standardeinheitsvektoren, hier 8latex]a_1,a_2[/latex] gennannt. diese sind eine ONB, da orthogonal und normiert. Nun haben wir einen Vektor x aus dem Vektorraum, bzgl. dieser Basis mit $\begin{eqnarray} x_a \end{eqnarray}$ bezeichnet gegeben. Seine Koordinatendarstellung bedeutet nun nichts anderes als $\begin{eqnarray} x = 1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 \end{eqnarray}$ Wir haben unseren Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt versehen, berechen also Längen mit der euklidischen Norm. Die Ergebnisse stehen im voherigen Post. Gruß, tigerbine Nun wollen wie eine weitere Basis b einführen. Ihre Koordinatendarstellung bedeutet: $\begin{eqnarray} b_1=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a_1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a_1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a_2 \end{eqnarray}$ Zeichne diese Vektoren mal in das Koordiantensystem ein und verlängere die Linien gestrichelt. Berechnen wir die Länge dieser Vektoren, so erhalten wir. $\begin{eqnarray} \|\|b_1\|\|_2=\sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} } = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|b_2\|\|_2=\sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} } = 1 \end{eqnarray}$ Welchen Winkel schließen sie ein? $\begin{eqnarray} <b_1,b_2> = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \end{eqnarray}$ Also sind sie orthogonal und damit ONB. Nun betrachten wir den Vektor x mit den Koordinaten bzgl. der ersten Basis $\begin{eqnarray} x_a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1\cdot a_1 + 2 \cdot a_2 \end{eqnarray}$ Zeichne den Mal ein. zu diesem Punkt hätten wir auch anders gelangen können, nämlich mit: $\begin{eqnarray} x_b=\begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}_b = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot b_1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot b_2=\frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a_1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a_2)- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a_1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a_2) = \frac{3}{2}a_1 - \frac{1}{2}a_1 + \frac{3}{2}a_2 + \frac{1}{2}a_2= 1a_1 + 2a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}_a = x_a \end{eqnarray}$ Jetzt erkennst Du vielleicht auch in der Skizze, warum die Länge gleich ist. Beidesmal ermitteln wir ja die Länge von x durch die euklidische Norm. D.h. wir bilden die Summe der Koordinaten( bzgl. einer Basis) im Quadrat und ziehen dann die Wurzel. Wenn man das mal hier betrachtet, haben wir im Grunde zweimal des Satz des Pythagoras angewendet. Wenn nun unsere neue Basis keine ONB ist, dann hat der Vekor x bzgl. dieser Basis auch eine andere Länge. Nehmen wir z.B.: $\begin{eqnarray} c_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, c_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann hat x die Koordinaten: $\begin{eqnarray} x_c = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und wir erhalten: $\begin{eqnarray} \|\|x_c\|\|_2=\sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »