partikuläre Lösung inhomogener Differentialgleichung 2. Ordnung

21.10.2010, 12:51	Stochastik_Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
partikuläre Lösung inhomogener Differentialgleichung 2. Ordnung Meine Frage: Habe folgende DGL gegeben: $\begin{eqnarray} \ddot{x} +\frac{\gamma}{m} \dot{x} =\frac{F}{m} \end{eqnarray}$ Maple spuckt dabei folgende Lösung aus: $\begin{eqnarray} x(t)=-C1 \frac{m}{\gamma} e^{-\frac{m}{\gamma} t}+\frac{F \cdot t}{\gamma} +C2 \end{eqnarray}$ Meine Frage nun dabei: Wie kommt man auf das mal t noch in der partikulären Lösung. Meine Ideen: Habe die partikuläre Lösung folgendermaßen bestimmt: $\begin{eqnarray} x_p = u(t) \cdot e^{-\frac{m}{\gamma} t} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \dot{u}=\frac{\frac{F}{m}}{e^{-\frac{m}{\gamma} t}} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} x_p = \frac{F}{\gamma} \end{eqnarray}$ also ohne mal t. (Anleitungen für diese Vorgehensweiße sind unter http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525#y?+f(x)*y=g(x) http://hschaefer.fto.de/hm2/node60.html#SECTION00033440000000000000 zu finden) Was ist daran falsch? Vielen Dank schonmal für die Mühe
21.10.2010, 15:24	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus physikalischer Sicht behandelt deine Gleichung die Bewegung eines Massepunktes (z.B. eines Steines), der von oben in ein Medium geschleudert wird (z.B. in einen Pudding). Dabei wirkt auf den Stein die Reibungskraft (infolge der Zähigkeit des Puddings) und zusätzlich eine konstante Kraft F, z.B. die Erdanziehungskraft. $\begin{eqnarray} m \ddot x+\gamma \dot x=F \end{eqnarray}$ Die Lösung x(t) gibt die Bewegung während der Abbremsens an. Dass die partikuläre Lösung gerade die lineare Funktion $\begin{eqnarray} x_{part}=\frac{F}{\gamma}\cdot t+C_2 \end{eqnarray}$ sein muss, ist ohne viel Rechnung klar. Da muss man nicht den "Stein des Weisen" suchen. Setze das einfach zur Probe ein und du wirst sehen, dass nicht anderes rauskommen kann. Man könnte in der obigen Dgl. anstelle der 1.Ableitung $\begin{eqnarray} \dot x \end{eqnarray}$ , welche nichts anderes als die Geschwindigkeit darstellt, die Variable $\begin{eqnarray} v=\dot x \end{eqnarray}$ einführen. Dann hätte man anstelle der obigen Dgl. 2.Ordnung nur noch folgende Dgl. 1.Ordnung $\begin{eqnarray} m \dot v +\gamma v=F \end{eqnarray}$ Hier wäre die Lösung $\begin{eqnarray} v(t)=C\cdot e^{\frac{-\gamma}{m}\cdot t}-\frac{F}{\gamma} \end{eqnarray}$ Hier wird klar: Wenn der Stein mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit auf den Pudding aufschlägt, nimmt seine Geschwindigkeit infolge der Zähigkeit des Puddings exponetiell ab.

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