beweis komplexe zahlen

21.10.2010, 18:36

analysisisthedevil

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beweis komplexe zahlen

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe.Ich kann zwar sehen , das beide aussagen stimmen ,ich weis aber nicht wie ich das mathematisch darstellen kann sodass es als beweis gilt.

Beweisen sie die folgenden Aussagen:

$\begin{eqnarray*} Re(z)<| z | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Im(z)<| z | \end{eqnarray*}$

21.10.2010, 18:40

tmo

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Zunächst einmal muss man die Gleichheit auch zulassen.

Und dann folgt das ganze doch direkt aus $\begin{eqnarray*} |z|^2 = \operatorname{Re}(z)^2 + \operatorname{Im}(z)^2 \end{eqnarray*}$

21.10.2010, 18:40

Iorek

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So wie es da steht sind die Aussagen falsch, meinst du nicht eher $\begin{eqnarray*} Re(z)\leq |z| \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Dann mach du mal weiter. smile

smile

21.10.2010, 18:47

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
So wie es da steht sind die Aussagen falsch, meinst du nicht eher $\begin{eqnarray*} Re(z)\leq |z| \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Dann mach du mal weiter. smile

smile

mmh , dein einwand leuchtet ein.Es steht aber tatsächlich so im aufgabenblatt.

21.10.2010, 18:55

tmo

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Dann schmeiß es dem Übungsleiter um die Ohren. Big Laugh

Big Laugh

Ich muss jetzt übrigens weg, also kannst ruhig du weitermachen, Iorek. Oder irgendjemand anderes. Wink

Wink

21.10.2010, 18:56

Iorek

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Wenn wirklich $\begin{eqnarray*} Re(z)<|z| \end{eqnarray*}$ auf dem Aufgabenblatt steht, kannst du ein einfaches Gegenbeispiel finden und bist fertig (selbes für den Imaginärteil). Schnell gemachte Punkte auf dem Übungsblatt Augenzwinkern

Augenzwinkern

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21.10.2010, 19:03

analysisisthedevil

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also , hab dem dozent jetz mal folgende email geschrieben :

"Hallo , ich bin der Meinung , dass die Aufgabenstellung von Aufgabe 1 (a) fallsch ist.

Der Imaginärteil sowie der Realteil ist nicht immer kleiner wie der Betrag von z , er kann auch gleich groß sein wie der betrag von z.

bsp: z=a+ib

ist b=0 so lautet die komplexe zahl z= a

d.h der betrag von z ist ebenfalls a , da b=0 und somit die wurzel aus a^2=a ergibt.

somit wäre der Realtiel RE(z) immer gleich mit dem betrag von z , wenn die Vorraussetzung erfüllt ist , dass der Imaginärteil=0 ist.

gleiches gilt auch für den imaginärteil."

Es kann natürlich sein , dass wir die aussage entweder beweisen oder wiederlegen sollten.nur dann wäre die fragestellung unfair weil hier eindeutig steht: "zeigen die das die aussage stimmt"

würde da stehen : "stimmt die aussage?"
wäre es natürlich,was anderes.
Aber jetz mal angenommen , ich soll nur zeigen ob sie stimmt oder nicht , hätte ich die aufgabe ja im prinzip mit meiner email gelöst oder?

21.10.2010, 19:05

Iorek

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Ja, mit dem Gegenbeispiel wäre es quasi richtig (allerdings ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$ ).

21.10.2010, 19:08

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Ja, mit dem Gegenbeispiel wäre es quasi richtig (allerdings ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$ ).

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = | a | = a \end{eqnarray*}$

So stimmt es doch aber oder?

21.10.2010, 19:56

analysisisthedevil

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ah ok...stimmt natürlich nur wenn a>0 ist...ich trottel

22.10.2010, 14:27

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von tmo
Zunächst einmal muss man die Gleichheit auch zulassen.

Und dann folgt das ganze doch direkt aus $\begin{eqnarray*} |z|^2 = \operatorname{Re}(z)^2 + \operatorname{Im}(z)^2 \end{eqnarray*}$

ich hab es dem dozent gesagt, die aufgabenstellung wurde korrigiert.
wie soll ich das jetz beweisen?ich mein , ich sehe es klar.aber ich weis nich wie ich das mathematisch darstellen soll

22.10.2010, 17:02

Iorek

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Für $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x^2\leq x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ , jetzt ein kleiner Einfall mit einer Wurzel und schon steht die Behauptung da.

22.10.2010, 19:25

analysisisthedevil

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$\begin{eqnarray*} Re(z)\leq | z | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Re(z)=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | z | = \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \leq \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \leq \sqrt{a^2+b^2} | \left(...\right) ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 \leq a^2+b^2 |-a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq b^2 | \sqrt{...} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq | b | \Rightarrow Re(z)\leq | z | \forall\ a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

kann man das so als beweis akzeptieren?

22.10.2010, 20:33

analysisisthedevil

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ein kurzes ja oder nein würde übrigens genügen Wink

Wink

22.10.2010, 21:24

Iorek

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Ich seh grad keine Fehler. smile

smile

22.10.2010, 21:27

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Ich seh grad keine Fehler. smile

smile

dankeschön Freude

Freude

22.10.2010, 22:27

Iorek

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Alternativ noch ein Einzeiler dazu (auf den ich eigentlich hinauswollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

):

Aus $\begin{eqnarray*} x^2\leq x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ folgt direkt (mit der Monotonieeigenschaft der Wurzel): $\begin{eqnarray*} x\leq |x|=\sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}=|z| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \mathbb C\ni z=x+iy \end{eqnarray*}$ .

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