Menge der Primelemente in faktoriellem Ring

21.10.2010, 18:42	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der Primelemente in faktoriellem Ring Hallo, ich habe goße Probleme mir etwas unter unserer Definition von Primelementen vorzustellen. Unsere Definition: Eine Menge von Primelementen $\begin{eqnarray} P\subseteq R \end{eqnarray}$ des faktoriellen Ringes R ist genau die Menge, für die gilt: Für jedes irreduzibles $\begin{eqnarray} r\in R \end{eqnarray}$ existiert genau ein $\begin{eqnarray} p\in P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r=sp \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} s\in R \end{eqnarray}$ . Und die Elemente von P heißen Primelemente. Wenn ich mir ein solches Element p von P anschauen, kann ich mir darunter aber nur wenig vorstellen. Da r irreduzibel und somit insbesondere eine Nichteinheit und s eine Einheit muss p auch eine Nichteinheit sein. Außerdem gilt p ist nicht die Null, da dies auch für r gilt. Wenn p jetzt irreduzibel ist, dann gibt es v aus R, m aus R mit p=vm (also sind p und m assoziiert, p~m) Dann wäre aber r=sp=svm und sv eine Einheit. m dürfte dann also nicht in P sein. Muss p denn irreduzibel sein? Das habe ich mir bisher überlegt, scheint aber nicht sehr aufschlussreich zu sein. Ich habe mir auch zwei Beispiele angeguckt, aber daraus kann ich auch nicht besonders viel ziehen. Kann p irreduziebel sein? Oder auch reduzibel? Und wie hängt meine Definition mit der bei Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Primelement zusammen? Demnach wäre ja schon jedes irreduzible Element in R Primelement. Unter unserer Definition steht aber extra, dass das nicht der Fall sein muss. Ich würde vermuten, dass die Primelemente dann genau die irreduzibelen Elemente von R "außer Assoziiertheit" sind, kann das sein? Könnt ihr mir helfen?
22.10.2010, 10:15	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Primelemente in faktoriellem Ring Sei A ein Integritätsring. Dann ist jedes Primelement (ungleich 0) von A irreduzibel in A. Und sei A ein Inegritätsring. A ist faktoriell genau dann, wenn in A jedes irreduzible Element prim ist und die folgende Teilerkettenbedingung gilt: Ist $\begin{eqnarray} (a_{n})_{ n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine Folge von Elementen $\begin{eqnarray} a_{n} \in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq (a_{3})\subseteq ... \end{eqnarray}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (a_{k} )=(a_{k+1}) \end{eqnarray}$
23.10.2010, 12:00	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Primelemente in faktoriellem Ring Hallo, danke für deine Antwort. Wir haben aber den faktoriellen Ring anders definiert (bei uns ist das ein kommutativer Ring, in dem jedes Element außer die Null als Produkt einer Einheit und irreduzibler Elemente geschrieben werden kann). Das stimmt dann ja auch überein, wenn man Primelemente so definiert, dass sie im faktoriellen Ring schon genau die irreduziblen Elemente sind. Da wir mit Primelementen im faktoriellen Ring nur eine Teilmenge der irreduziblen Elementen bezeichnen, müssen wir den faktoriellen Ring ja anders definieren. Aber ich glaube, ich hab`s jetzt eh. Es sollten wirklich einfach die irreduziblen Elemente bis auf Assoziertheit sein. Man sucht sich also von allen assoziierten irreduziblen Elementen je eines heraus, das dann Prim ist und muss bei Folgebeweisen deshalb nicht mehr immer auf die Assoziertheit eingehen. Kann mir jemand sagen, ob das plausibel klingt?

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