Beweise aus bernoullischen Ungleichung folgern

21.10.2010, 21:23	T1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise aus bernoullischen Ungleichung folgern Beweisen sie als Folgerung aus der Bernoullischen Ungleichung: Für alle a>1 und M>0 exestiert ein n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a^{n} > M \end{eqnarray}$ Hab ich dann so formuliert als: $\begin{eqnarray} \forall a>1 \wedge \forall M>0 : \exists n\in \mathbb N : a^{n}>M \end{eqnarray}$ Beweis durch Widerspruch: $\begin{eqnarray} \exists a>1 \wedge \exists M>0 : \forall n\in \mathbb N : a^{n}\leq M \end{eqnarray}$ Jede nicht-leere nach oben beschränkte Teilmenge eines geordneten Körpers K besitzt ein Suprema. $\begin{eqnarray} a^{n}\in M \Rightarrow M \neq \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s = Sup( a^{n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s \geq a^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow s \geq a^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s \geq a^{n} a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{s}{a} \geq a^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow s \leq \frac{s}{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} as \leq s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \leq 1 \end{eqnarray}$ Dort entsteht mein Widerspruch. a soll ja größer 1 sein. Aber ich weiß nicht wie ich dort die bernoullische Ungleichung einbringe, oder ob diese Beweisführung überhaupt legitim ist.
22.10.2010, 09:05	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise aus bernoullischen Ungleichung folgern Es macht schon Sinn den Hinweis zu berücksichtigen. Seien also $\begin{eqnarray} a,M\in\mathbb R \text{ mit }a>1\text{ und } M>0 \end{eqnarray}$ gegeben. Dann ist $\begin{eqnarray} a-1>0. \end{eqnarray}$ Wähle nun $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N\text{ mit } n>\frac{M}{a-1}. \end{eqnarray}$ (Warum gibt es ein solches $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ?) Unter Berücksichtigung des Hinweises solltest Du aus dieser Ungleichung nun leicht die zu beweisende Aussage folgern.
22.10.2010, 16:51	T1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus der Vorlesung wurde ersichtlich, dass der Ansatz mit dem Archimedisches Axiom bearbeitet werden muss. Weil aus deiner Beweisführung werde ich nicht unbedingt schlau, muss ich zugeben.
22.10.2010, 17:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Manni schlägt den Beweis per bernoullischer Ungleichung vor: Es ist $\begin{eqnarray} a^n = (1+(a-1))^n \geq 1+n(a-1) > ... \end{eqnarray}$ Und nun kann mit dem Archimedesaxiom folgern, dass der letzte Ausdruck auf jeden Fall größer als M werden kann für ein geeignetes n. Allerdings ist dein Beweisansatz genauso richtig. Wenn es kein solches n gäbe, wäre $\begin{eqnarray} A = \{a^n \| n \in \mathbb N\} \end{eqnarray}$ durch M nach oben beschränkt, hat also ein Supremum s. Dann kann man aber folgen, dass $\begin{eqnarray} \frac{s}{a} < s \end{eqnarray}$ auch eine obere Schranke von A ist, was ein Widerspruch dazu ist, dass s die kleinste obere Schranke ist. Genau das hast du ja in sparsamer Kurzschreibweise gemacht.

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