Dichtheit von m + n sqrt(2)

21.10.2010, 21:39	ele5559	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtheit von m + n sqrt(2) Die Menge $\begin{eqnarray} \left\{ m+n\sqrt{2}:m,n \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray}$ soll dicht in R sein. Aber wie zeige ich das. Wir haben in der Vorlesung die Dichtheit für R\Q in R gezeigt, indem wir mit $\begin{eqnarray} a < a + \frac{b-a}{\sqrt{2}} < b \end{eqnarray}$ gezeigt haben, dass zwischen zwei reellen zahlen immer auch eine irrationale Zahl liegen muss. Aber ich komme nicht darauf, wie ich ich da die Ganzzahligkeit von m und n hineinbringen kann...
22.10.2010, 19:05	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichtheit von m + n sqrt(2) Hallo! Irgendwie solltest du anfangen, der Rest gibt sich an ggf. Wieso reicht es zB zu versuchen $\begin{eqnarray} (n \cdot \sqrt 2 - \lfloor n \cdot \sqrt 2 \rfloor) \end{eqnarray}$ zu untersuchen und zu zeigen, dass diese Folge beliebig kleine Werte annehmen kann? Grüße Abakus
22.10.2010, 19:40	ele5559	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, irgendwie denk ich mir, dass, wenn $\begin{eqnarray} (n \cdot \sqrt 2 - \lfloor n \cdot \sqrt 2 \rfloor) \end{eqnarray}$ beliebig klein wird, klar ist, dass jedes beliebige reelle X zwischen zwei zu unserer Menge gehörigen Punkten $\begin{eqnarray} a +b(n \cdot \sqrt 2 - \lfloor n \cdot \sqrt 2 \rfloor) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a +(b+1)(n \cdot \sqrt 2 - \lfloor n \cdot \sqrt 2 \rfloor) \end{eqnarray}$ liegen muss: das heißt für $\begin{eqnarray} \epsilon=n \cdot \sqrt 2 - \lfloor n \cdot \sqrt 2 \rfloor \end{eqnarray}$ liegt zumindest ein Punkt in der epsilon-Umgebung. Und wenn der Ausdruck unendlich klein werden kann, darf auch epsilon unendlich klein werden, und trotzdem wäre in jeder noch so kleinen epsilon-Umgebung des Punktes noch ein Punkt nach unserem Muster. Nur weiß ich nicht, ob $\begin{eqnarray} n \cdot \sqrt 2 - \lfloor n \cdot \sqrt 2 \rfloor \end{eqnarray}$ beliebig klein werden kann, denn es gibt da ja keine Regelmäßigkeit, d.h. kleiner bei größerem n oder so, das könnte doch auch immer zwischen z.B. 0,4 und 0,7 landen....
22.10.2010, 20:10	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk einfach mal an Zahlen wie $\begin{eqnarray} (\sqrt{2}-1)^k \end{eqnarray}$ für (große) natürliche Exponenten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ .
22.10.2010, 20:45	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Renés Idee passt gut. Ein weiterer Weg ist vielleicht, die Folge einmal auf Häufungspunkte zu untersuchen und dann geeignete Teilfolgen "auszugucken". Hier führen viele Wege nach Rom, aber alles halt schrittweise. Grüße Abakus
22.10.2010, 21:17	ele5559	Auf diesen Beitrag antworten »
Verdammt schlau! Ich versuche mal, ob ich das umsetzen kann. Verstehe ich das richtig, wenn ich das so argumentieren würde: $\begin{eqnarray} (\sqrt{2}-1)^k \end{eqnarray}$ konvergiert gegen 0, da $\begin{eqnarray} \|\sqrt{2}-1\|<1 \end{eqnarray}$ und ist ausmultipliziert: $\begin{eqnarray} \sqrt{2}^k - \begin{pmatrix} k \\ k-1 \end{pmatrix} \sqrt{2}^{k-1} 1+\begin{pmatrix} k \\ k-2 \end{pmatrix}\sqrt{2}^{k-2} 1^{2}- ... \pm \sqrt{2}^1 1^{k-1} \pm 1^k \end{eqnarray}$ Bei jedem zweiten Term löst sich die Wurzel auf, da sie eine gerade Hochzahl hat und es wird eine ganze Zahl, da auch k über k-n und die 1 ganzzahlig sind, also kann ich diese alle zusammenzählen und bekomme eine ganze Zahl, die meinem m in der Mengenangabe entspricht. Und bei den Wurzeln mit ungerader Hochzahl kann ich ein Vielfaches von 2 mal Wurzel hoch eins draus machen und dann alle Faktoren vor den Wurzeln zusammenzählen und bekomme eine Summe, die meinem n entspricht. D.h. ich habe ein beliebig kleines x, das Element aus meiner Menge ist und kann damit s.o. verfahren.... 1000 Dank
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