Verschoben! [gelöst] Funktion liefert Unendlich?

21.10.2010, 22:28

matze(2)

[gelöst] Funktion liefert Unendlich?

Hallo,

$\begin{eqnarray*} \text{sei} & f(x):=\begin{cases}<br /> 1 + f(0), & \text{wenn }x = 0\\<br /> \text{undefiniert}, & \text{sonst }<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

(1) Ist $\begin{eqnarray*} f(0) = \infty \end{eqnarray*}$ ?
(2) Wenn ja, ist dann $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ eine gültige Funktion, weil jedem X-Wert ein eindeutiger Y-Wert zugeordnet wird?
(3) Ist dann $\begin{eqnarray*} f(0) - f(0) \end{eqnarray*}$ undefiniert, weil jede ganze Zahl rauskommen könnte?

21.10.2010, 22:45

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen dass das überhaupt keine Funktion ist, denn hier wäre

$\begin{eqnarray*} f(0)= 1 + f(0) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0=1 \end{eqnarray*}$

21.10.2010, 22:52

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Äquivalenz setzt $\begin{eqnarray*} f(0) - f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ voraus, oder?

Aber es könnte ja auch beispielsweise $\begin{eqnarray*} f(0) - f(0) = f(0) - (1 + f(0)) = -1 + f(0) - f(0) = -1 \end{eqnarray*}$ sein, oder?

Also für $\begin{eqnarray*} f(0) - f(0) \end{eqnarray*}$ kann doch nach der Definition jede beliebige ganze Zahl rauskommen, oder? (Sodass $\begin{eqnarray*} f(0) - f(0) \end{eqnarray*}$ also undefiniert ist)

21.10.2010, 22:55

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Terme der Form $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ sind im allg. nicht definiert, dass ist richtig

21.10.2010, 23:01

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es denn überhaupt zulässig eine rekursive Funktion zu definieren, wenn es kein festes Ende der Rekursion gibt?

21.10.2010, 23:06

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matze(2)
Ist es denn überhaupt zulässig eine rekursive Funktion zu definieren, wenn es kein festes Ende der Rekursion gibt?

Wie oben schon erwähnt:

Zitat:

Original von Black
Ich würde sagen dass das überhaupt keine Funktion ist, denn hier wäre

$\begin{eqnarray*} f(0)= 1 + f(0) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0=1 \end{eqnarray*}$

oder anschaulich: die Vorschrift ordnet dem Wert x=0 unendlich viele Bilder zu, und kann somit keine Funktion sein.

21.10.2010, 23:14

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

matze(2) hat leider nichts zum erlaubten Wertebereich dieser Funktion gesagt. Als reelle Funktion gibt es die nicht, völlig klar.

Ist der Wertebereich aber $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \end{eqnarray*}$ , dann sind mit den "üblichen" Erweiterungen für + und - schon die Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} f(0)=+\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(0)=-\infty \end{eqnarray*}$ denkbar.

Allerdings bleibt mir der tiefere Sinn einer derartig "entarteten" Funktionalgleichung weitgehend verborgen. Augenzwinkern

21.10.2010, 23:15

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erübrigen sich auch die anderen Fragen.

Gibt es denn eine Funktion die ohne $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ direkt zu verwenden Unendlich als Ergebnis liefern kann?

21.10.2010, 23:18

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter "unendlich direkt als Ergebnis" ?
Es gibt Funtkionen die "über alle Grenzen wachsen" , man sagt dann z.b für $\begin{eqnarray*} f(x)=1/x \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)= \lim_{x \to 0} \frac {1}{ x} = \infty \end{eqnarray*}$ aber in der Regel nicht $\begin{eqnarray*} f(0)=\infty \end{eqnarray*}$

21.10.2010, 23:30

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Sinn der Funktionalgleichung soll die Frage sein, wie viele ganze Zahlen es gibt.

Gibt es denn einen formalen Unterschied zwischen einem potentiellen unendlich (im Sinne von beliebig groß) und einem aktualen unendlich?

21.10.2010, 23:41

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hängt meiner Erfahrung nach stark vom persönlichen Geschmack ab, allgemeine Definitionen gibt es meines Wissens nicht.

Es gibt zum Beispiel die Hardcore Mathematiker die sich strikt weigern $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als "Wert" zu verwenden (diese arbeiten dann nur mit Limites, wie in meinem Beispiel oben).
Je nach Anwendung kann es aber durchaus sinnvoll sein $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als konkreten Wert zuzulassen.

Nur Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ sind (meines Wissens) nie definiert.

21.10.2010, 23:48

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Also man könnte sich ja erst mal fragen, wie viele natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} >= 1 \end{eqnarray*}$ es gibt. Und dann könnte man ja anfangen die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ abzuzählen. $\begin{eqnarray*} 1, 2, 3, 4, ... \end{eqnarray*}$ und so weiter. Und dann kann man ja bis zu einer beliebig großen (endlichen) Zahl hochzählen. Aber so weit man auch zählt, man wird natürlich nie alle Zahlen erfasst haben. Also müsste es doch nicht nur potentiell unendlich viele Elemente geben, sondern noch mehr, oder? Gibt es denn so eine Art "echtes" unendlich? (Also eine Art über- (potenzielles Unendlich)?)

21.10.2010, 23:55

Iridium

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matze(2)
Dann erübrigen sich auch die anderen Fragen.

Gibt es denn eine Funktion die ohne $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ direkt zu verwenden Unendlich als Ergebnis liefern kann?

Ist die Delta-"Funktion" nicht so etwas ähnliches, was du meinst?

http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution

21.10.2010, 23:59

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt tatsächlich noch einige Unterscheidungen von unendlich.

Zum Beispiel sind die natürlichen Zahlen, die Ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen "abzählbar unendlich"

Allgemein heißt eine Menge A abzählbar , wenn es eine bijektive Abbildung von der Menge (oder einer Teilmenge) der natürlichen Zahlen nach A gibt - anschaulich heißt eine Menge A abzählbar wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die natürlcihen Zahlen.

Darüberhinaus gibt es überabzählbare Menge - zb die reellen Zahlen, aber es gibt noch unendlich viele Menge die noch mächtiger sind als überabzählbar.

Zum Beispiel ist die Potenzmenge einer Menge stets mächtiger als die Menge selbst - und das lässt sich natürlich beliebig weit fortsetzen.

22.10.2010, 00:26

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Mathematik der Delta-Funktion ist leider zu hoch für mich.

Das mit der Mächtigkeit und der Abzählbarkeit von Mengen finde ich schwer und kontra-intuitiv, aber es macht Sinn.

22.10.2010, 00:44

Iridium

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matze(2)
Die Mathematik der Delta-Funktion ist leider zu hoch für mich.

Du hast schon recht, der deutsche Wikipedia-Artikel ist ziemlich anspruchsvoll. Der englische ist anschaulicher geschrieben. Hier mal ein Auszug:

The Dirac delta can be loosely thought of as a function on the real line which is zero everywhere except at the origin, where it is infinite,

$\begin{eqnarray*} \delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

and which is also constrained to satisfy the identity

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1. \end{eqnarray*}$

This is merely a heuristic definition. The Dirac delta is not a true function, as no function has the above properties.

Also die Fallunterscheidung kommt deinem Beispiel ja schon sehr nahe, mit der Zusatzbedingung, die sich aus dem Integral ergibt. Man spricht in der Physik auch von Delta-"Funktion", obwohl es strenggenommen keine Funktion ist, zumindest nicht nach herkömmlichem Verständnis. Man kann aber mit Methoden der höheren Mathematik (Stichwort: Nichtstandardanalysis) das Ganze retten und auch den Begriff Delta-Funktion begründen (neben anderem, man kann mit der Methode auch formal die infinitesimalen Größen in der herkömmlichen Analysis begründen, allerdings sind die Details ziemlich "schmutzig", also ziemlich hohe höhere Mathematik smile

Neue Frage »

Antworten »

Verschoben! [gelöst] Funktion liefert Unendlich?

Verwandte Themen