Schwerpunkt einer Kurve bestimmen (Wegintegral)

21.10.2010, 23:04	StAnger_	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt einer Kurve bestimmen (Wegintegral) $\begin{eqnarray} <br /> Hallo, ich soll den Schwerpunkt einer Kurve \Gamma berechnen, wobei der Schwerpunkt definiert ist durch: \vec{S} = (S_{x_{1}}, S_{x_{2}},..., S_{x_{n}}), S_{x_{i}} := \frac{1}{L(\Gamma)}\int_\gamma \! x_{i} \, dx.<br /> Der Schwerpunkt soll bestimmt werden fuer \gamma:[0, \pi] \to \mathbb R^3, t \to (cos(t), sin(t), ht).<br /> L(\Gamma) habe ich ausgerechnet, muesste \pi\sqrt{1+h^{2} } sein. So, weit so gut.<br /> Allerdings kann ich mit den x_{i} nicht so wirklich was anfangen. Sollen das einfach die Komponentenfunktionen von \gamma sein?<br /> \end{eqnarray}$
21.10.2010, 23:05	StAnger_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt einer Kurve bestimmen (Wegintegral) ...und kann mir vlt jemand das mit dem Editor erklären? Sieht irgendwie komisch aus so!?!
22.10.2010, 10:25	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt einer Kurve bestimmen (Wegintegral) Stell dir vor , im Raum befinden sich diskrete Massepunkte. Das heißt, an den n Raumpunkten $\begin{eqnarray} \vec x_1, \vec x_2, ..., \vec x_n \end{eqnarray}$ befinden sich die Massen $\begin{eqnarray} m_1, m_2,...m_n \end{eqnarray}$ . Dann ist ist der Schwerpunkt bekanntlich $\begin{eqnarray} S=\frac{\sum\limits_{k=1}^n m_k \vec x_k }{\sum\limits_{k=1}^n m_k } \end{eqnarray}$ __________(1) Sind die Massepunkte dagegen nicht diskret, sondern entlang einer Kurve "verschmiert", so ist die Summe durch ein Integral zu ersetzen, also $\begin{eqnarray} S=\frac{\int_a^b \! \vec x \, dm }{\int_a^b \! dm } \end{eqnarray}$ __________(2) Bei deiner Kurve ist die Masse gleichmäßig über die Kurve "verschmiert". Das bedeutet, die Masse der Kurve wächst proportional zu deren Länge s. Man kann also setzen s=m bzw. differenziell ds=dx. Damit wird aus (2) $\begin{eqnarray} S=\frac{\int_{s_1}^{s_2} \! \vec x \, ds }{\int_{s_1}^{s_2} \! ds } \end{eqnarray}$ __________(3) Für die Bogenlänge einer Kurve gilt bekanntlich (Siehe Lehrbücher) $\begin{eqnarray} ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2} dt \end{eqnarray}$ __________(4) Dabei bedeuten die Punkte die Ableitung nach dem Parameter t. Einsetzten von (4) in (3) liefert $\begin{eqnarray} S=\frac{\int_{t_1}^{t_2} \! (x\|y\|z) \, \sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2} dt }{\int_{t_1}^{t_2}\! \sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2} dt } \end{eqnarray}$ __________(5) Dabei haben wir den Vektor $\begin{eqnarray} \vec x=(x\|y\|z) \end{eqnarray}$ ausführlich mit seinen 3 Komponenten aufgeschrieben. Im Nenner stehen also 3 Integrale - für jede Komponente x,y,z genau ein Integral. (5) ist die allgemeine Formel zur Berechnung des Schwerpunktes einer Kurve. Nun kannst du diese Formel auf deine spezeille Kurve anwenden. Deine Kurve ist eine Schraubenlinie, die sich um die z-Achse "schlängelt wie ein Gewinde.

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