Fragen zur Notation

22.10.2010, 15:57

Nashsright

Fragen zur Notation

Hallo,

Ich habe 3 (eher banale) Fragen zur Notation, bei deren Interpretation ich mir nicht so ganz sicher bin. Tut mir leid, falls es eher Schulmathematik ist, war mir nicht ganz sicher wo es besser reinpasst.

1.) $\begin{eqnarray*} f,g \in R[a,b] \end{eqnarray*}$
Findet sich z.B. in Heuser Ana 1 (u.a. Satz 79.5). Kann auch sein, dass es schon deutlich früher vorkommt und dort erklärt wird, aber aufgrund der Ausführlichkeit von Heuser ist es nicht ganz so leicht eine gewünschte Stelle zu finden.

Das "R" ist nicht dick unterlegt wie das "R", das im Buch für die reelen Zahlen steht. Könnte sein, dass es was mit Riemann-Integrierbarkeit zu tun hat, aber dann versteh ich nicht was das Element Zeichen soll.

2.)Ist es falsch statt dem Kongruenzzeichen(oder Identitätszeichen) ( $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ) ein Gleichheitszeichen zu verwenden (Umgekehrt würde ich sagen ist es definitiv falsch). Es wird ja relativ selten verwendet, z.B. wird eigentlich meistens $\begin{eqnarray*} \sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1 \end{eqnarray*}$ geschrieben, obwohl das meiner Meinung nach eine Identität ist.

Weiters habe ich gelesen, dass es äquivalent zu $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ ist und einen wirklich wesentlichen Unterschied kann ich auch nicht nennen, außer, dass ich $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ als "ist definiert als" und $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ als "hat die Identität" lesen würde(wobei, das eigentlich das gleiche ist).

3.) $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R , f: x \mapsto f(x) := y \end{eqnarray*}$
Das heißt einfach, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ von da an auch als $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird, oder?
Hat der zweite Pfeil $\begin{eqnarray*} \mapsto \end{eqnarray*}$ einen Namen mit dem man ihn von ersterem abgrenzt?

22.10.2010, 16:51

org

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RE: Fragen zur Notation
1.) $\begin{eqnarray*} f,g \in R[a,b] \end{eqnarray*}$
Das heisst, dass $\begin{eqnarray*} f\in \{ h:[a,b] \to \mathbb{R}|\text{ h ist Riemann-integrierbar } \} \end{eqnarray*}$ , d.h. f ist eine Riemann-integrierbare Funktion mit Definitionsbereich [a,b]

2.) Schau auf den Kontext.

$\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ schreibt man, um zu zeigen, dass der linke ausdruck so definiert ist.
$\begin{eqnarray*} f(x) \equiv 1 \end{eqnarray*}$ schreib man (meist) um zu verdeutlichen, dass f konstant ist. Ist aber nicht nötig, machts evtl. nur einfacher zu lesen.

3.) s.o.
f(x) wird als y definiert.

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R , f: x \mapsto f(x) := y \end{eqnarray*}$
der erste Pfeil "verbindet" 2 Mengen.
der 2. Pfeil definiert die Abbildungsvorschrift.

22.10.2010, 17:26

Nashsright

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Ok, vielen dank, hat mir geholfen smile

22.10.2010, 21:38

Gastmathematiker

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RE: Fragen zur Notation

Zitat:

Original von org

$\begin{eqnarray*} f(x) \equiv 1 \end{eqnarray*}$ schreib man (meist) um zu verdeutlichen, dass f konstant ist. Ist aber nicht nötig, machts evtl. nur einfacher zu lesen.

Dann schreibt man aber korrekterweise $\begin{eqnarray*} f\equiv1 \end{eqnarray*}$ , denn schließlich ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Funktion und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ der Funktionswert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Man kann also folgende 2 Dinge schreiben:
1. Für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ oder
2. Es ist $\begin{eqnarray*} sin^2+cos^2\equiv1 \end{eqnarray*}$ .

24.10.2010, 12:01

Nashsright

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Dir auch danke smile

Ich hätte noch eine kleine Zusatzfrage:

Ist bei $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit dem Intervall a,b immer explizit ein Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gemeint? (z.B. Was gebe ich bei einer Treppenfunktion an?)

25.10.2010, 15:58

Nashsright

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Ich machs zwar sehr ungern, aber einen Doppelpost erlaube ich mir, weil sonst glaube ich nichts mehr gekommen wäre/kommen wird.

25.10.2010, 17:46

org

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Ist bei $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit dem Intervall a,b immer explizit ein Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gemeint?

Ja, es sei denn ihr habt [a,b] extra anderst definiert.

25.10.2010, 20:03

Nashsright

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Wir haben Intervalle eigentlich nur für reelle Zahlen definiert.

Vielen Dank!

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