Auf die gesamte reelle Zahlenebene verallgemeinern

22.10.2010, 14:04

PeterH

Auf die gesamte reelle Zahlenebene verallgemeinern

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,
Ich habe eine Frage, die mir schon lange auf der Zunge liegt. Vielleicht klingt sie in euren Ohren lächerlich, aber mir fällt einfach keine Lösung ein. Summen oder Reihen besitzen ja definitionsgemäß eine untere und eine obere Schranke. Beispielsweise durchläuft $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... bis n. So weit so gut. Natürlich kenne ich den "kleinen Gauß", der ja bekanntermaßen besagt, dass die Summe = 0.5*x*(x+1) ist. Jetzt kommen wir langsam zu meiner Frage. Die Reihendarstellung liefert das Ergebnis ja nur für natürliche n, während die Darstellung von Gauß für jede reelle Zahl ein Ergebnis ausspuckt. Ist dies prinzipiell für alle (endlichen) Reihen möglich? Ist diese Verallgemeinerung auf die gesamte relle Zahlenebene auch möglich, wenn man außer der Summendarstellung keine anderen Informationen besitzt (beispielsweise mithilfe von Integralen etc.)?
Vielleicht hört sich meine Frage etwas schwammig an. Dennoch würde ich mich sehr über eine Antwort freuen.
Mit freundlichen Grüßen,
PeterH

Meine Ideen:

22.10.2010, 14:21

corvus

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RE: Auf die gesamte reelle Zahlenebene verallgemeinern

Zitat:

Original von PeterH

Beispielsweise durchläuft
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... bis n.
So weit so gut.

.. ganz und gar nicht gut geschockt

nebenbei:
Ist diese Verallgemeinerung auf die gesamte relle Zahlenebene auch möglich
................................................................... reell? .. Ebene ? verwirrt

22.10.2010, 14:34

PeterH

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Oh da scheinen sich zwei Fehler eingeschlichen zu haben. Einmal soll natürlich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ als Summe dort stehen und zweitens ist "reelle Zahlenebene" sehr irreführend. Da habe ich wohl an die komplexe Zahlenebene gedacht. Ich denke aber es sollte trotzdem deutlich werden, was ich meine.

22.10.2010, 15:57

mYthos

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Für jede arithmetische Reihe mit dem Anfangsglied a1, der Differenz d und der Anzahl der Glieder n ist die Reihensumme

$\begin{eqnarray*} s_n = (a_1 + a_n) \frac n 2 \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n - 1)d \end{eqnarray*}$

Die Zahlen müssen keineswegs natürlich sein, sie können durchaus aus dem reellen Zahlenbereich entstammen.

mY+

23.10.2010, 08:10

PeterH

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RE: Auf die gesamte reelle Zahlenebene verallgemeinern
Aber wie ist es zum Beispiel mit einer komplizierten Reihe wie $\begin{eqnarray*} A\left(n\right):= \sum\limits_{k=1}^n cos(\pi \cdot (n+1))\cdot cos(14\cdot ln(n))\cdot n^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ ? Was ist, wenn ich anstatt n=100 irgendeine reelle Zahl nehme, die nicht natürlich ist? Beispielsweise liefert Gauß' Summenformel für $\begin{eqnarray*} n= \pi \end{eqnarray*}$ sehr wohl ein Ergebnis (nämlich 6.505598527), während die Reihendarstellung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\pi k=6 \end{eqnarray*}$ ist, weil nicht tatsächlich mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ gerechnet wird, sondern mit $\begin{eqnarray*} floor\left(\pi \right)=3 \end{eqnarray*}$ . Daher ist meine Frage, ob dies mit jeder Summe/Reihe geht.

23.10.2010, 23:17

mYthos

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Da n der Zählindex der Reihe ist, also die Anzahl der Reihenglieder bezeichnet, befindet sich n in der Menge der natürlichen Zahlen. Du wirst daher schon verstehen, dass in diesem Zusammenhang die Zuweisung anderer Werte für n schlicht ein Nonsense ist.

mY+

24.10.2010, 00:07

TommyAngelo

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Nimm doch mal floor(3,8)=3. Da hast du mit der Reihendarstellung 1+2+3 = 6 und mit der Summenformel 8,28, floor davon ist 8. Also gilt folgende Überlegung nicht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\operatorname{floor}(x)} k = \operatorname{floor}\left(\frac{x(x+1)}{2}\right) \end{eqnarray*}$

24.10.2010, 07:39

René Gruber

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Zitat:

Original von PeterH
Aber wie ist es zum Beispiel mit einer komplizierten Reihe wie $\begin{eqnarray*} A\left(n\right):= \sum\limits_{k=1}^n cos(\pi \cdot (n+1))\cdot cos(14\cdot ln(n))\cdot n^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Erstens ist $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ gar keine Reihe, sondern nur die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Partialsumme einer Reihe.

Zweitens ist diese Summe überhaupt nicht kompliziert, da das Summenglied gar nicht vom Summationsindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängig ist, somt ist der Summenwert schlicht gleich dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -fachen dieses (konstanten) Reihenglieds, also

$\begin{eqnarray*} A(n) = n \cdot \cos(\pi(n+1))\cdot \cos(14\ln(n))\cdot n^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Vielleicht meinst du ja stattdessen eher

$\begin{eqnarray*} B(n) := \sum\limits_{k=1}^n \cos(\pi(k+1))\cdot \cos(14\ln(k))\cdot k^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ,

oder doch nur ein Teil der n's als k's ... ? Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} \cos(\pi(k+1)) \end{eqnarray*}$ sind allerdings mehr so als Verschleierung eingestreut, denn für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist schließlich $\begin{eqnarray*} \cos(\pi(k+1)) = (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ die etwas klarere Darstellung. Augenzwinkern

24.10.2010, 09:54

tmo

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Übrigens kann man natürlich jede Folge reeller Zahlen als Funktion f auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ verallgemeinern. Die Frage ist was für Eigenschaften f haben soll.

Gleiche Funktionswerte bei den natürlichen Zahlen ist klar.

Was noch? Stetigkeit? Diffbarkeit? Selbe Rekursionsgleichungen? etc...

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