Brüche multiplizieren

22.10.2010, 17:47	mathemaus13	Auf diesen Beitrag antworten »
Brüche multiplizieren Hi! Wir machen gerade Multiplikation von Brüchen. Unsere Lehrer halt folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \frac{5}{6} \frac{4}{7} = (5:6) * (4:7) = (54) : (67) = \frac{5 * 4}{67} \end{eqnarray}$ Wir sollen den Schritt (54) : (67) begründen? Kann mir jemand helfen dabei?
22.10.2010, 21:11	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brüche multiplizieren Das kommt drauf an, wie tiefgründig Du das Problem untersuchen willst. Eine Multiplikation mit dem Bruch (4/7) ist - eine Multiplikation mit 4 und - eine Division durch 7. Ein Bruch wird z. B. mit der Zahl a multipliziert, indem der Zähler mit a multipliziert wird, und wird durch die Zahl b dividiert, indem der Nenner mit b multipliziert wird. Daraus ergibt sich als Regel, dass die Multiplikation zweier Brüche einen Bruch ergibt mit dem Produkt der Zähler als neuem Zähler und dem Produkt der Nenner als neuem Nenner - genau wie in Deinem Beispiel gezeigt.
22.10.2010, 22:10	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt Handwaving kann man auch Rechengesetzte anwenden: ---------- Mit dem Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} (5:6) \cdot (4:7) = \Big((5:6) \cdot 4\Big):7 \end{eqnarray}$ Mit dem Kommutativgesetz: $\begin{eqnarray} \Big((5:6) \cdot 4\Big):7 = \Big(4 \cdot (5:6) \Big):7 \end{eqnarray}$ Mit dem Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} \Big(4 \cdot (5:6) \Big):7 = \Big((4 \cdot 5):6 \Big):7 \end{eqnarray}$ Mit dem Kommutativgesetz: $\begin{eqnarray} \Big((4 \cdot 5):6 \Big):7 = \Big((5 \cdot 4):6 \Big):7 \end{eqnarray}$ ---------- Es gilt also insgesamt $\begin{eqnarray} (5:6) \cdot (4:7) = \Big((5 \cdot 4):6 \Big):7 \end{eqnarray}$ . *()** ---------- Außerdem gilt mit dem Kommutativgesetz: $\begin{eqnarray} (6\cdot 7)\cdot\Big(\big((5 \cdot 4):6\big):7\Big)=(7\cdot 6)\cdot\Big(\big((5 \cdot 4):6\big):7\Big) \end{eqnarray}$ Mit dem Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} (7\cdot 6)\cdot\Big(\big((5 \cdot 4):6\big):7\Big)=\Big((7\cdot 6)\cdot\big((5 \cdot 4):6\big)\Big):7 \end{eqnarray}$ Mit dem Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} \Big((7\cdot 6)\cdot\big((5 \cdot 4):6\big)\Big):7=\Big(\big((7\cdot 6)\cdot(5 \cdot 4)\big):6\Big):7 \end{eqnarray}$ Mit dem Kommutativgesetz: $\begin{eqnarray} \Big(\big((7\cdot 6)\cdot(5 \cdot 4)\big):6\Big):7=\Big(\big((5 \cdot 4)\cdot(7\cdot 6)\big):6\Big):7 \end{eqnarray}$ Mit dem Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} \Big(\big((5 \cdot 4)\cdot(7\cdot 6)\big):6\Big):7=\Big(\big((5 \cdot 4\cdot 7)\cdot 6\big):6\Big):7 \end{eqnarray}$ Mit dem Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} \Big(\big((5 \cdot 4\cdot 7)\cdot 6\big):6\Big):7=\Big(\big(5 \cdot 4\cdot 7)\cdot (6:6)\Big):7 \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} 6:6=1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \Big(\big(5 \cdot 4\cdot 7)\cdot (6:6)\Big):7=(5 \cdot 4\cdot 7):7 \end{eqnarray}$ Mit dem Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} (5 \cdot 4\cdot 7):7=5 \cdot 4\cdot (7:7) \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} 7:7=1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4\cdot (7:7)=5 \cdot 4 \end{eqnarray}$ ---------- Es gilt also insgesamt $\begin{eqnarray} (6\cdot 7)\cdot\Big(\big((5 \cdot 4):6\big):7\Big)= 5 \cdot 4 \end{eqnarray}$ . *()** ---------- Allerdings ist auch $\begin{eqnarray} (6 \cdot 7) \cdot \Big( (5\cdot4) : (6\cdot7) \Big)=\Big((6 \cdot 7) \cdot (5\cdot4)\Big) : (6\cdot7)=\Big((5 \cdot 4) \cdot (6\cdot 7)\Big) : (6\cdot7) =(5 \cdot 4) \cdot \Big((6\cdot 7) : (6\cdot7)\Big)=5 \cdot 4. \end{eqnarray}$ () ---------- Mit der Kürzungsregel erhält man nach Gleichsetzen von ()* und ()*: $\begin{eqnarray} \Big((5 \cdot 4):6\Big):7=(5\cdot4) : (6\cdot7) \end{eqnarray}$ ()* ---------- Zusammen ergeben *() und () die zu zeigende Behauptung! ----------
23.10.2010, 10:36	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brüche multiplizieren @Cugu Anstatt Dich lang und überbreit zur Frage auszulassen, hättest Du ruhig mal eine Rückmeldung von mathemaus13 abwarten können. Was Du mit "Handwaving" meinst, weiß ich nicht.

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