Abgeschwächte Gruppendefinition

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schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschwächte Gruppendefinition
Hallo,

Semester hat wieder begonnen und ich habe die erste Frage:

Und zwar wenn eine Gruppe G mit den folgenden Eigenschaften der Gruppenmultiplikation wie folgt definiert wird:

Assoziativität und


a)

c)

f)

(die abgeschwächten eigenschaften b,d,e habe ich bereits zeigen können.)

Nun gehe ich davon, dass a,c,f jeweils einfach nicht für die Definition ausreichen. Wie kann ich da ein Gegenbeispiel finden?

Grüße,

schmo
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschwächte Gruppendefinition
Betrachte mit der Multiplikation.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke für Deine Antwort,

aber diese Menge ist ja kein Gegenbeweis für die Behauptung.

Das ist ja nur ein Beispiel für eine nicht-Gruppe.

Was ich benötige, ist eine Menge, die mit einer Multiplikation nach der obigen Definition eine Gruppe wäre, nach der allgemeinen Definition aber keine gruppe ist - zumindeest denke ich, dass ich das so brauche.

EDIT: Was ich also brauche, ist eine Menge G, die mit einer Abb. zwar ein Element e besitzt so dass für alle a in G ein b existiert, so dass ab=e,

die aber gleichzeitig, zwei Elemente a,b besitzt, für die gilt, ,

So eine Menge muss es ja geben, sonst wäre die Eigenschaft bei der Gruppendefinition ja unnötig.




Grüße,

Schmo
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Beispiel erfüllt a) c) und f), ohne Gruppe zu sein. Das hast du ursprünglich gesucht.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Na aber die Menge ist doch schon nicht abgeschlossen bezüglich Multiplikation, und das ist doch schon gefordert, oder sehe ich das falsch?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Dann suchst du eine Menge mit assoziativer und abgeschlossener zweistelliger Operation mit den Eigenschaften a), c) und f) ohne dass es eine Gruppe ist ? Da kenne ich momentan auch kein Beispiel.
 
 
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so wollte ich es auch ausdrücken Augenzwinkern

danke für deine Mühe.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn Assoziativität, und für einer innere Verknüpfung gegeben sind, dann erhält man definitiv eine Gruppe.
Es geht doch darum, dass , und drei verschiedene Fälle sind, oder?

Betrachte eine Verknüpfung mit für alle Elemente.
Betrachte eine Verknüpfung mit für alle Elemente.
Suche dir eine der obigen Verknüpfungen aus.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

hä? nö!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du auch in ganzen Sätzen schreiben?
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

smile

Warum sollten a und c den Gruppendefinitionen genügen?

Es sind keine Fälle. Es sind Eigenschaften die gegen die Eigenschaft "Existenz eine Neutralelementes" und "Existenz von Inversen" der gewohnten Gruppendefinition ausgetauscht werden.

Die frage ist, ob's für ne Gruppe auch so reicht.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, betrachteh wir eine innere, assoziative Verknüpfung für die sowohl
a)
als auch
c)
gilt.
Dann folgt .

Damit stimmen linksneutrales und rechtsneutrales Element überein und wir erhalten eine Gruppe.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

a,c,f sind getrennt zu betrachten. Es gelten nicht die Eigenschaften a und c und f sonder die frage ist:

G eine Halbgruppe und (a), wieso ist das keine Gruppe?

G ein Halbgruppe und (c), wieso ist das keine Gruppe?

G eine Halbgruppe und (f), wieso ist das keine Gruppe?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Verarschen kann ich mich auch alleine...

Zitat:
Betrachte eine Verknüpfung mit für alle Elemente.

Zitat:
Betrachte eine Verknüpfung mit für alle Elemente.

Zitat:
Suche dir eine der obigen Verknüpfungen aus.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Ok, betrachteh wir eine innere, assoziative Verknüpfung für die sowohl
a)
als auch
c)
gilt.
Dann folgt .

Damit stimmen linksneutrales und rechtsneutrales Element überein und wir erhalten eine Gruppe.


Wodurch sind die Inversen gesichert?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschwächte Gruppendefinition
Mir scheint, zu a) lässt sich ein einfaches Gegenbeispiel konstruieren. Sei eine Menge mit zwei Elementen a und b betrachtet und dazu die folgende Verknüfungstabelle:



(1) Die Assoziativität habe ich nachgerechnet. Hoffe, ich habe mich nicht vertan.
(2) Beide Elemente a und b sind Linkseinsen.
(3) Bezüglich der Linkseins a ist a rechtsinvers zu a und ebenfalls rechtsinvers zu b. Es gibt also zu der Linkseins a zu beiden Elementen ein rechtsinverses Element.

Die Bedungungen von a) sind erfüllt. Offensichtlich ist das aber keine Gruppe. Es gibt zum Beispiel keine Rechtseins. Wenn man eine sucht, müsste für sie gelten

ax = a und bx =b

Die erste Gleichung wird aber nur von x = a erfüllt, die zweite nur von von x = b.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

@wisili
Die Existens eine Linksinversen und eines Rechtsinversen ist in den jeweiligen Bedingungen gefordert. Da wir nicht mehr zwischen links- und rechtsneutralen Elementen unterscheiden müssen:
Ist und , so ist auch .

@Huggy
Das ist exakt mein Gegenbeispiel für den Fall einer zweielementigen Menge. In einer beliebigen Menge erhält man die Assoziativität durch .
Gibt es mindestens zwei Elemente, so kann es kein rechtsneutrales Element geben.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Wie beweist man, dass für jedes a ein b existiert, mit ab=e?
(Das müsste ja wohl, sofern es stimmt, mit f) hergeleitet werden können. Aber wie?)
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, und , nützt also nichts.

Aber in steht:
Zitat:

Das bedeutet für alle und das steht für existiert.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
@Huggy
Das ist exakt mein Gegenbeispiel für den Fall einer zweielementigen Menge. In einer beliebigen Menge erhält man die Assoziativität durch .
Gibt es mindestens zwei Elemente, so kann es kein rechtsneutrales Element geben.

Da habe ich dein Beispiel gründlich falsch verstanden. Ich dachte, du meinst, als Ergebnis der Verknüpfung taucht nur b auf. Also bei 2 Elementen so etwas:

Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich meinte . Statt habe ich geschrieben.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Naja, ich meinte . Statt habe ich geschrieben.

Ja, jetzt ist mir das auch klar. Ich war halt begriffsstutzig.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Nein, und .


Es wird immer absurder: f) folgt doch nicht aus a), und die Inversen (für mich noch) nicht offensichtlich aus f).
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast in dem Punkt recht. folgt nicht aus .
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Ok, betrachteh wir eine innere, assoziative Verknüpfung für die sowohl
a)
als auch
c)
gilt.
Dann folgt .

Damit stimmen linksneutrales und rechtsneutrales Element überein und wir erhalten eine Gruppe.


Hier wird die Inversenexistenz sogar ohne f) behauptet.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe das mal so auf:




--- --- ---
Dann folgt .
--- --- ---
Außerdem gilt .

Damit ist ein Inverses zu .
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

-- Entschuldige, ich habe a) ungenau zu Ende gelesen: Dort wird das Inverse gesichert. Peinlich, danke für die Nachsicht.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich auf Grund meiner möglicherweise voreiligen Behauptung ein bisschen verunsichern lassen, sonst hätte ich direkt gesagt, du mögest noch einmal die Aussagen genauer lesen.

In der Tat gilt aber doch:
Wegen kann man und wählen.
Dabei habe ich Assoziativität und Abgeschlossenheit der Halbgruppe nutzen müssen. Ist irgendeine Abbildung, wird es Gegenbeispiele geben.

-------
Wenn ich links und rechts unterscheiden könnte, hätte ich einen anderen Namen für gewählt...
-------
Wie gesehen genügt für eine Gruppe

und
.

Aber zumindest braucht man natürlich.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe galub ich,

Also wenn ich G mit der Verknüpfung betrachte,

existiert b so dass gilt ((für alle a gilt ba=a) und (für alle a ex b mit ab=b))

das kann aber keine Gruppe sein, denn dann wäre b=ab=ba=a.

Stimmts?

Grüße.
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