Herleitung der Faltung / Integration durch Substitution

22.10.2010, 19:33

PowerMod

Herleitung der Faltung / Integration durch Substitution

Meine Frage:
Ich möchte gerade die Herleitung der Faltung in der Stochastik verstehen.

Seien also X, Y unabhängige ZV mit Dichten $\begin{eqnarray*} f_{X}, f_{Y} \end{eqnarray*}$

Die Faltung ist

$\begin{eqnarray*} F_{X+Y} (z) = \int_{-\infty} ^z \! \int_{-\infty} ^\infty \! f_{X}(x)*f_{Y}(y-x) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} F_{X+Y} (z) = P(X+Y \leq z) = P((X,Y) \in \left\{ (x,y) \in (\mathbb R,\mathbb R ) | x+y \leq z \right\} ) \end{eqnarray*}$

lassen wir y beliebig und schränken x ein, d.h. x <= z - y erhalten wir

$\begin{eqnarray*} = \int_{-\infty }^\infty \! \int_{-\infty }^{z-y} \! f_{X}(x)*f_{Y}(y) \, dx \, dy <br /> \end{eqnarray*}$

und nun scheiterts langsam bei mir.

im skript substituieren wir:

$\begin{eqnarray*} t = y - x \end{eqnarray*}$

heißt das man substituiert 2 variablen gleichzeitig?

also ganz formell hat man das ja immer so gemacht:

$\begin{eqnarray*} t = \phi(x) = x+y \end{eqnarray*}$

oder soll phi eine Funktion von y sein? Oder von x und y?

Im Skript steht nun, man erhält für das innere integral

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^z \! f_{X}(x)*f_{Y}(t-x) \, dt \end{eqnarray*}$

das macht sinn, wenn phi eine Funktion von x ist, denn die Integralgrenze stimmt:

$\begin{eqnarray*} \phi(z-y) = (z-y) + y = z \end{eqnarray*}$

Aber warum, wird dann y durch t - x ersetzt? Müsste man nicht x durch y - t ersetzen? Das ist genau der Punkt den ich nicht verstehe. Wahrscheinlich ist phi eine Funktion von x und y. Aber wie man dann Substituiert weiß ich nicht.

Als nächstes steht im Skript:

Bei Vertauchung der Integrationsreihenfolge erhält man:

$\begin{eqnarray*} = \int_{-\infty} ^z \! \int_{-\infty} ^\infty \! f_{X}(x)*f_{Y}(y-x) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Offenbar wurde t in y umbenannt. Geht das überhaupt, wenn t = y - x war? Und wenn ja, warum geht das?

23.10.2010, 10:56

Huggy

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RE: Herleitung der Faltung / Integration durch Substitution

Zitat:

Original von PowerMod
$\begin{eqnarray*} = \int_{-\infty }^\infty \! \int_{-\infty }^{z-y} \! f_{X}(x)*f_{Y}(y) \, dx \, dy <br /> \end{eqnarray*}$

und nun scheiterts langsam bei mir.

im skript substituieren wir:

$\begin{eqnarray*} t = y - x \end{eqnarray*}$

heißt das man substituiert 2 variablen gleichzeitig?

Nein. Betrachtet wird hier die innere Integration über x. Für die ist y eine Konstante. Zudem ist die passendende Substitution hier

$\begin{eqnarray*} x = t-y \end{eqnarray*}$

Und mit der bekommt man

$\begin{eqnarray*} F_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^z f_X(t-y)f_Y(y) dt dy \end{eqnarray*}$

Da die Integrationsgrenzen jetzt voneinander unabhängig sind, kann man die Integrationsreihenfolge vertauschen.

$\begin{eqnarray*} F_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^z\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(t-y)f_Y(y) dy dt \end{eqnarray*}$

Die Integrationsvariable t kann beliebig umbenannt werden, außer in y oder z. Man darf sie auch x nennen.

$\begin{eqnarray*} F_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^z\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x-y)f_Y(y) dy dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \int_{-\infty} ^z \! \int_{-\infty} ^\infty \! f_{X}(x)*f_{Y}(y-x) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Zu dieser gleichwertigen Formel gelangt man, wenn man schon ganz zu Anfang die Rollen von x und y vertauscht ansetzt. D. h. es ist x beliebig und y beschränkt auf z -x. Das ist wohl der Weg im Skript gewesen und du hast die beiden Varianten miteinander vermengt, wonach dann nichts mehr passt.

23.10.2010, 21:31

PowerMod

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Hallo Huggy,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort!

Im Skript ist es wirklich so, dass das innere Integral bis z-y geht und nach x integriert wird.
Dann wird aber y durch t - x substituiert und scheinbar die Rollen von x und y mittendrin vertauscht.. ja ist komisch alles, dann scheint dort ein Fehler drin zu sein. Ich bin ja erstmal davon ausgegangen, dass das was im Skript steht richtig ist. Und hab mich deshalb ewig damit rumgequält.

Danke Dir! smile

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