Standardabweichung vom Kehrwert

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MG2010 Auf diesen Beitrag antworten »
Standardabweichung vom Kehrwert
Meine Frage:
Für den Erwartungswert gilt: E(a) = 1/E(b)
Die Standardabweichung von b ist bekannt: sigma(b)
Wie ist die Standardabweichung von a: sigma(a)?

Hintergrund:
Ich habe MLE-Schätzer benutzt, um den Parameter b einer Verteilungsfunktion zu ermitteln und die Kovarianzmatrix, um die Streuung des geschätzten Parameters zu erhalten. Nun muss ich aber a = 1/b weiterverwenden und benötige hierzu die Streuung.

Meine Ideen:
E(b) = 1/n * Summe(b_i)
E(a) = 1/n * Summe(a_i)
E(a) = 1/n * Summe(1/b_i), aber b_i unbekannt
E(a) = f(E(b)) ? , dass klappt ja schon nicht und mit der Standardabweichung sieht es noch schlechter aus ...

s²(b) = 1/n * Summe(b_i-E(b))²
s²(a) = 1/n * Summe(a_i-E(a))²
s²(a) = 1/n * Summe(1/b_i-E(a))²
s² = f(s²(b)) ?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eine positive Zufallsgröße, und deren Kehrwert, dann gilt nur dann, wenn f.s. konstant ist. Ist das nicht der Fall, dann folgt mit der Konvexität von aus der Jensenschen Ungleichung sogar stets

.


Eine Anmerkung noch: Es ist dem Verständnis nicht gerade förderlich, wenn du den Bezeichner sowohl für eine Zufallsgröße als auch für den Parameter einer Verteilung nutzt. Augenzwinkern
MG2010 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Rene für die erste Hilfe. Ich dachte ich kann die Frage allgemein stellen. Ich formuliere es nochmal an meinem konkreten Problem.

Die Gumbel_min-Funktion ist auf zwei Weisen definiert:

Gumbel_min Funktion 1 (Skript):
f(x) = alpha * exp( alpha (x - u) - exp( alpha (x - u)))

Gumbel_min Funktion 2 (Matlab):
f(x) = 1/sigma * exp((x - mue)/sigma - exp( (x - mue)/sigma))

d.h. u = mue und alpha = 1/sigma

Wenn ich jetzt mit dem MLE-Schätzer und Funktion 2 mue und sigma schätze, dann sind doch die Schätzer von u = mue und alpha = 1/sigma.

Was mache ich aber mit den Varianz von mue und alpha (Ermittelt mit der Kovarianzmatrix), wenn ich eigentlich die Varianz von u und alpha brauche?

Ich hoffe ich habe mit meiner "vereinfachten" Frage nicht zuviel Verwirrung gestiftet und bekomme nochmal eine gute Antwort.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte, da kann ich dir nicht weiterhelfen: Die Bestimmungsgleichungen für die ML-Schätzer von scheinen bei dieser Verteilung hier nicht explizit auflösbar zu sein. Gewiss kann man wahrscheinlich auch ohne eine derartige explizite Darstellung was zu Erwartungswert bzw. Varianz dieses Schätzers sagen, aber das überblicke ich im Moment nicht. unglücklich
MG2010 Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem Danke für den Versuch. Mal schauen, ob sonst noch jemandem was einfällt.
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