Normale durch f1(x) UND f2(x)

12.11.2006, 10:56

jazdec

Normale durch f1(x) UND f2(x)

Ich schreibe morgen eine Mathe-Klausur und komme einfach nicht auf die Lösung dieser Aufgabe:
Untersuchen Sie, ob die Grafen (C1) und (C2) der Funktionen

f1(x)=x², D1= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

und

f2(x)=1+2x², D2= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

gemeinsame Normalen besitzen.

Kann mir vll. jemand helfen? (Habe den TI Voyage 200, falls jemand sich mit dem auskennt und mir helfen kann)

(Als Lösung müssen 3 Normalen rauskommen:

n1: y=- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ x+2
n2: y=+ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ x+2
n3: x=0 )

12.11.2006, 11:10

Frooke

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Du suchst stellen, wo für $\begin{eqnarray*} \mathrm{N_1}(x)=f_1(x_0)-\frac{1}{f_1'(x_0)}(x-x_0),\mathrm{N_2}(x)=f_2(x_0)-\frac{1}{f_2'(x_0)}(x-x_0) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \mathrm N_1=\mathrm N_2 \end{eqnarray*}$ .

Wie weit kommst Du damit?

EDIT: Moment, diese Stellen suchst Du gar nicht... Siehe Post weiter unten!

12.11.2006, 15:25

jasdec

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Normale durch f1(x) UND f2(x)
Aha! Vom Prinzip her versteh ich das ja schon, aber jetzt klappt's mit der Eingabe nicht. Mein Rechner zeigt die ganze Zeit FALSE, also dass meine eingegebene Gleichung falsch wäre.

Was nun?

12.11.2006, 15:34

Frooke

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Von Hand machen Big Laugh

...

12.11.2006, 15:44

Dorika

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ist schadenfreude schön? verwirrt

12.11.2006, 16:12

jazdec

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Normale durch f1(x) UND f2(x)
Hab's nie gelernt, von Hand zu machen, TI macht ja alles :-)

Mein Problem ist ja aber: Ich hab ja überhaupt keine Punkte (x0 eigentlich) durch die die Normale/n gehen. Also kann ich auch nix auflösen, weil ich mindestens 2 Unbekannte hab.

12.11.2006, 21:37

Frooke

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Zitat:

Original von Dorika
ist schadenfreude schön? verwirrt

Na, so war das aber nicht gemeint - sorry! Gott

Also Zu deinem Problem:

Als Vorgehensweise würde ich Folgendes empfehlen. Lege eine Normale (allgemein) durch Deine erste Funktion. Suche Schnittstellen dieser Normalen mit der zweiten Funktion und ermittle speziell jene, bei denen $\begin{eqnarray*} \text{Steigung der Normalen}\cdot f_2'(x)=-1 \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_1(x)=2x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f_2(x)=1+2x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_2(x)=4x \end{eqnarray*}$

Dann einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{N_1}(x)=x_0^2-\frac{1}{2x_0}(x-x_0) \end{eqnarray*}$

Nun löse folgende Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf:

$\begin{eqnarray*} 1+2x^2=x_0^2-\frac{1}{2x_0}(x-x_0) \end{eqnarray*}$

Du findest dann eine von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abhängige Schnittstelle.

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