Was ist exp(G) eigentlich genau?

23.10.2010, 11:38	Markus.	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist exp(G) eigentlich genau? Hallo, ich habe ein klitzekleines Verständnisproblem bei der Definition des Exponenten einer Gruppe G, abgekürzt exp(G). Ich zitiere im Folgenden aus dem Buch "Grundlagen der Algebra. Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik", Gisbert Wüstholz, Vieweg+Teubner, 2004: Auf Seite 12 schreibt Herr Wüstholz: "Die kleinste ganze Zahl $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g^n=e \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ heißt Exponent der Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ." Weiter hinten beweist er den Satz 2.2.: "Der Exponent einer endlichen Gruppe ist ein Teiler der Ordnung \|G\|." In dem Beweis behauptet er jedoch, dass der Exponent einer Gruppe das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller Elemente sei, was aber nicht die Definition von exp(G) ist. Das verwirrt mich ein wenig; denn müsste nach Def. der Exponent nicht vielmehr das Maximum der Ordnungen aller Elemente einer Gruppe sein? Liebe Grüße, Markus
23.10.2010, 11:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was ist exp(G) eigentlich genau? Doch, genau das ist die Definition des Exponenten. Der kgV ist der kleinste gemeinsame Vielfache - der größte gemeinsame Vielfache würde auch nicht so viel Sinn machen, da man jede Zahl an einen gemeinsamen Vielfachen multiplizieren kann und es so größer wird. D.h. wenn g^3 = e für alle g aus G ist, ist es auch für g^6 = (g^3)^2 = e^2 = e erfüllt.
23.10.2010, 11:45	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn wenn z.B. das Maximum 4 ist und ein Element g Ordnung 3 hat, dann ist $\begin{eqnarray} g^3 = e \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} g^4 = g^3 \cdot g = e \cdot g = g \neq e \end{eqnarray}$ air
23.10.2010, 11:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Markus : Du irrst. Zum Beispiel für eine Gruppe mit erzeugenden Elementen der Ordnung 3 und 5 ist der Exponent nicht 5 (Maximum) sondern 15 (kgV).
23.10.2010, 13:00	Markus.	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten soweit. Auch wenn es möglicherweise trivial ist, fehlt doch noch die tatsächliche Begründung, d.h. der mathematische Beweis dafür, dass sich aus der Definition des Exponenten schließen lässt, dass der Exponent gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen aller Elemente ist. Wie lautet denn die korrekte Begründung dafür? (Herr Wüstholz gab leider keine Begründung an.) LG, Markus
23.10.2010, 14:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a\in G \Rightarrow a^{exp(G)}=e\Rightarrow ord(a)\|exp(G) \end{eqnarray}$ , also muss der Exponent von G ein Vielfaches jeder Elementordnung sein. Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV reicht dann offenbar schon aus (der Exponent ist ja per def die kleinste solche Zahl).
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23.10.2010, 14:14	Markus.	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Elvis. Das ist tatsächlich ziemlich einfach. Naja, ich als Anfänger brauche da wohl noch ein wenig Übung, damit ich die Zusammenhänge schneller erfasse. Bye
23.10.2010, 14:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen. Alles eine Frage der Übung, nach 40 Jahren Algebra wird's ein bisschen leichter.

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