Zerlegung eines Elements aus Quot(R) in Primfaktoren aus R

23.10.2010, 12:18	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung eines Elements aus Quot(R) in Primfaktoren aus R Hallo, ich verstehe nicht, warum man jedes Element eines Quotientenkörpers K über einem faktoriellen Ring R als Produkt einer Einheit und irreduzibelen Elementen aus R schreiben kann. Also genauer: Warum gilt für $\begin{eqnarray} a\in Quot(R):=K \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=ep_{1} ^{k_{1} }...p_{n} ^{k_{n} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_{1} ^{k_{1} },...,p_{n} ^{k_{n}}\in R \end{eqnarray}$ irreduzibel und $\begin{eqnarray} e\in R* \end{eqnarray}$ Mir ist klar, dass Qout(R)=K faktoriell ist und a somit als Produkt aus Einheit und irreduzibelen Elementen aus K geschrieben werden könnte. Mir ist ebenso klar, dass diese Zerlegung in K eindeutig ist. Aber heißt das schon, dass die Einheit aus R sein muss und die irreduziblen Elemente aus R? Hat hier jemand einen Tipp für mich?
23.10.2010, 14:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Exponenten $\begin{eqnarray} k_i \end{eqnarray}$ sind ganze Zahlen. Es ist sicher $\begin{eqnarray} p_i \in R \end{eqnarray}$ aber nicht notwendig $\begin{eqnarray} p_i^{k_i} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Zum Beispiel in $\begin{eqnarray} \mathbb Q=Quot(\mathbb Z) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} p=5\in\mathbb Z, \frac 1 5 =5^{-1}\in \mathbb Q,\frac 1 5=5^{-1} \notin \mathbb Z \end{eqnarray}$
25.10.2010, 13:07	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das heißt die oben geschriebene Behauptung ist einfach falsch? Dann muss ich mir den Beweis, aus dem ich das habe noch mal anschauen. Danke schön!
26.10.2010, 18:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nicht ganz falsch, muss nur heissen " $\begin{eqnarray} p_1,...,p_n\in R \end{eqnarray}$ irreduzibel" statt " $\begin{eqnarray} p_1^{k_1},...,p_n^{k_n}\in R \end{eqnarray}$ ireduzibel" .
29.10.2010, 10:52	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ok, das ist mir klar. Mh, wenn das oben nicht gilt, dann habe ich einen Beweis aus dem Skript wohl völlig falsch verstanden. Gehe das dann nochmal durch. Danke!

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