Logarithmusfunktion, Tangente an K

23.10.2010, 12:37

Surilou

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Logarithmusfunktion, Tangente an K

Hallo

smile

Also, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{8}{x} * ln x \end{eqnarray*}$

Vom Urpsrung aus wird eine Tangente an die Kurve K gelegt. Bestimme die Koordinaten des im 1. Feld gelegenen Berührungspunktes.

Jetzt meine Frage, wie bestimme ich die Tangengleichung?
Mir fällt dazu jetzt bloß y=mx+c oder y=f'(x0) * (x-x0) + y0 , aber ich weiß nicht, wie ich da anfangen soll.

Tipps wären sehr nett! smile

smile

23.10.2010, 12:44

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktion, Tangente an K
Willkommen

Willkommen

Dann fahnden wir mal nach der Tangente. Welche Infos kannst du über die liefern?

motivierendes Bild:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{8}{x} \cdot \ln(x) \end{eqnarray*}$

23.10.2010, 12:50

Surilou

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RE: Logarithmusfunktion, Tangente an K
Hallo,

also viel mehr, als dass sie durch (0/0) geht weiß ich nicht. Ich verstehe die Formulierung des 1. Feldes auch nicht.

23.10.2010, 12:54

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktion, Tangente an K
Hab ja gerade noch ein Bild angehängt. (0|0) ist richtig. Das nutzen wir gleich mal aus.

Allgemein Gerade:
y=mx+c

Urpsrungsgerade:
?

23.10.2010, 12:58

Surilou

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RE: Logarithmusfunktion, Tangente an K
Meinst Du mit der Ursprungsgerade einfach y=x ?

23.10.2010, 12:59

Surilou

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RE: Logarithmusfunktion, Tangente an K
Tut mir leid, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch.

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23.10.2010, 13:00

riwe

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RE: Logarithmusfunktion, Tangente an K
und die gerade BERÜHRT f(x)

23.10.2010, 13:03

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktion, Tangente an K
Fast, ich meine dass sie von der Form y=mx ist.

Mein Bild war ja nur Motivation, das Ziel hat riwe nun gemalt. [sehr schön, dass man die Lösung nicht ablesen kann Big Laugh

Big Laugh

]

Alles was uns also fehlt, ist das m. Nun brauchen wir eine Gleichung.

Zitat:

y=f'(x0) * (x-x0) + y0

Sehr gut. Du weißt also, dass die Steigung der Tangente mit der Ableitung der Funktion in dem Tangentialpukt [den wir noch nicht kennen] zusammen hängt. Könntest du uns mal die Ableitung ausrechen?

23.10.2010, 13:07

Surilou

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Also f'(x) = -8x^-2 * ln(x) + 8x^-1 * 1/x

23.10.2010, 13:11

riwe

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RE: Logarithmusfunktion, Tangente an K
[quote]Original von tigerbine
Fast, ich meine dass sie von der Form y=mx ist.

Mein Bild war ja nur Motivation, das Ziel hat riwe nun gemalt. [sehr schön, dass man die Lösung nicht ablesen kann Big Laugh

Big Laugh

]

quote]

ich kenn ja die regeln und zittere smile

smile

23.10.2010, 13:13

Surilou

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Man kann ja sehen, dass es sich um y= ca. 1,5x handelt, also so in dem Bereich, aber den Weg kenne ich nicht

23.10.2010, 13:21

tigerbine

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Zitat:

... und zittere

verwirrt

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{8}{x} \cdot \ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) ={{8}\over{x^2}}-{{8\,\ln(x)}\over{x^2}} \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

In einem konkreten Punkt x0 eben

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) ={{8}\over{x_0^2}}-{{8\,\ln(x_0)}\over{x_0^2}} \end{eqnarray*}$

Welche andere Möglichkeit gibt es, eine Steigung einer Geraden zu berechnen? Man brauch 2 Punkt. Wir haben den Ursprung (0|0) und dass der zweite Punkt auf der Funktion liegen muss $\begin{eqnarray*} (x_0|f(x_0)) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} m = ? \end{eqnarray*}$

23.10.2010, 13:25

Surilou

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Braucht man x0 von f(x) oder von f'(x). Das wären ja jeweils 1 bzw. e^1.

Danke übrigens smile

smile

23.10.2010, 13:26

tigerbine

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Zitat:

Original von Surilou
Braucht man x0 von f(x) oder von f'(x). Das wären ja jeweils 1 bzw. e^1.

verwirrt

Verstehe nicht was du meinst. f und f' hängen von x ab, nicht umgekehrt.

23.10.2010, 13:55

Surilou

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Nein, unglücklich ausgedrückt.
x_{0} von f oder f' benutzt werden, so meinte ich das smile

smile

23.10.2010, 13:56

Surilou

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$\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$

So sollte das aussehen.

23.10.2010, 14:00

tigerbine

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Aktuell sind wir beim Teilproblem

Zitat:

Welche andere Möglichkeit gibt es, eine Steigung einer Geraden zu berechnen? Man brauch 2 Punkt. Wir haben den Ursprung (0|0) und dass der zweite Punkt auf der Funktion liegen muss $\begin{eqnarray*} (x_0|f(x_0)) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} m = ? \end{eqnarray*}$

Stichwort: Steigungsdreieck.

23.10.2010, 14:09

Surilou

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Ich bekomme für 1,08 raus, aber das kann doch gar nicht stimmen.
Es tut mir auch total leid, dass ich hier gerade gar nichts verstehe.

23.10.2010, 14:10

tigerbine

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Du beantwortest nicht meine Frage. Wie haben 2 Punkt, einer ist allgemein. Da kann keine konkrete Zahl raus kommen, ich möchte nur wissen, das die Steigung zwischen (0|0) und $\begin{eqnarray*} (x_0|f(x_0)) \end{eqnarray*}$ lautet.

23.10.2010, 14:13

Surilou

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m= (f(x0)-0) / ( x0 - 0)

23.10.2010, 14:14

tigerbine

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Tanzen

Nun haben wir 2 Informationen über die Steigung der Tangente. Es muss also gelten

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{f(x_0)}{x_0} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung nun bitte lösen.

23.10.2010, 14:19

Surilou

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Welches x0, das der Nullstelle oder das des Extremwerts?

23.10.2010, 14:20

tigerbine

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x0 ist doch gesucht. Wir hatten schon

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) ={{8}\over{x_0^2}}-{{8\,\ln(x_0)}\over{x_0^2}} \end{eqnarray*}$

Die Funktion kannst du doch auch allgemein in x0 auswerten. Dann leutet

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{f(x_0)}{x_0} \end{eqnarray*}$

wie?

23.10.2010, 14:22

Surilou

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Ich verstehe nicht, wie ich es auswerten soll, weil ich nicht verstanden habe, um welche Stelle es sich handelt.

23.10.2010, 14:24

tigerbine

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Einfach einsetzen,was sonst?

$\begin{eqnarray*} f(x_0) = \frac{8}{x_0} \cdot \ln(x_0) \end{eqnarray*}$

23.10.2010, 14:26

Surilou

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2,94?

23.10.2010, 14:28

tigerbine

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Wie kommst du auf diese Zahl? Du musst mir schon Rechnungen zeigen und nicht irgendwas hin knallen.

Du sollst lösen
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{f(x_0)}{x_0} \end{eqnarray*}$

was die Gestalt

$\begin{eqnarray*} {{8}\over{x_0^2}}-{{8\,\ln(x_0)}\over{x_0^2}} =\frac{\frac{8}{x_0} \cdot \ln(x_0)}{x_0} \end{eqnarray*}$

hat.

23.10.2010, 14:30

Surilou

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Ja, aber das Problem ist doch, dass ich die Gleichung gar nicht verstehe.

x0 von f ist bei mir 1
und von f' e

23.10.2010, 14:32

tigerbine

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Zitat:

x0 von f ist bei mir 1

Welch kühne Behauptung. Wie kommst du darauf?

Zitat:

Ja, aber das Problem ist doch, dass ich die Gleichung gar nicht verstehe.

Was verstehst du daran nicht? Wir haben sie doch nun schrittweise hergeleitet.

23.10.2010, 14:33

Surilou

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Naja ln von 1 ist 0, daher ist das die Nullstelle von f.

Tut mir leid, ich meine es wirklich nicht böse smile

smile

23.10.2010, 14:34

corvus

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hi tigerbine,
warum willst du denn das m explizit berechnet haben?
Die Aufgabe war doch nur:

Bestimme die Koordinaten des im 1. Feld gelegenen Berührungspunktes. $\begin{eqnarray*} B(x_0|f(x_0)) \end{eqnarray*}$ .

und du hast (ganz direkt: m=f'(xo) .. und .. mxo=f(x0) ->)

$\begin{eqnarray*} m ={{8}\over{x_0^2}}-{{8\,\ln(x_0)}\over{x_0^2}} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} m\cdot x_{0} = \frac{8}{x_0} \cdot \ln(x_0) \end{eqnarray*}$

also das System

$\begin{eqnarray*} m \cdot {x_0^2}= 8 -8\cdot ln(x_{0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m\cdot x_{0}^2 = 8 \cdot \ln(x_0) \end{eqnarray*}$

und da ist es doch nahezu trivial,
ohne mühsame Kämpfe ums Verständnis xo zu bekommen.? smile

smile

.

23.10.2010, 14:37

tigerbine

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Zitat:

Naja ln von 1 ist 0, daher ist das die Nullstelle von f.

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist die x-Koordiante des Tangentialpunktes und keine Nullstelle von f. Es ist nur ein Name, könnte auch $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ heißen. Völlig egal.

Und wir kennen den Punkt - in Zahlen - nicht. Wir müssen ihn erst ausrechnen. dazu muss gelöst werden

$\begin{eqnarray*} {{8}\over{x_0^2}}-{{8\,\ln(x_0)}\over{x_0^2}} =\frac{\frac{8}{x_0} \cdot \ln(x_0)}{x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {{8}\over{x_0^2}}-{{8\,\ln(x_0)}\over{x_0^2}} =\frac{8}{x_0^2} \cdot \ln(x_0) \end{eqnarray*}$

Und diese Gleichung können wir doch lösen.

@corvus:

Dein System ist das selbe in grün. Die Schülerin soll lernen, dass wir 2 Wege für die Steigung der Tangente kennen. Da bei beiden das selbe raus kommen muss, setzen wir gleich und erhalten so die x-Koordinate des Lösungspunktes.

23.10.2010, 14:41

Surilou

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Wenn man es einfach naxh x auflöst, kommt dann 0,5 raus?
Tut mir leid, ich weiß nicht so ganz, was ich damit machen soll.

23.10.2010, 14:43

tigerbine

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Du sollst mir doch Rechenschritte zeigen!

$\begin{eqnarray*} {{8}\over{x_0^2}}-{{8\,\ln(x_0)}\over{x_0^2}} =\frac{8}{x_0^2} \cdot \ln(x_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {{8}\over{x_0^2}}=\frac{16}{x_0^2} \cdot \ln(x_0) \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter? NUR den nächsten Schritt bitte.

23.10.2010, 14:44

Surilou

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mal (x0)² und dann e^

23.10.2010, 14:49

tigerbine

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Sehr schön!

$\begin{eqnarray*} {8}=16 \cdot \ln(x_0) \end{eqnarray*}$

Wir können noch einen Schritt einschieben |:18

$\begin{eqnarray*} 0.5=\ln(x_0) \end{eqnarray*}$

Und nun auf beiden Seiten e^

$\begin{eqnarray*} e^{0.5}=x_0 \end{eqnarray*}$

Und das ist ungefähr:

$\begin{eqnarray*} x_0 \approx 1.65 \end{eqnarray*}$

Kannst du nun noch - endlich konkrete Zahlen -

$\begin{eqnarray*} f(x0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x0) \end{eqnarray*}$ berechnen?

23.10.2010, 14:53

Surilou

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Ah ok, jetzt habe ich auch verstanden, was Du meintest smile

smile

Ähm, wenn kein Tippfehler, dann für f=2,43 und f'=1,47 hoffe ich verwirrt

verwirrt

23.10.2010, 14:57

tigerbine

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smile

Was deine Vermutung

Zitat:

Man kann ja sehen, dass es sich um y= ca. 1,5x handelt ...

doch nun erfreulich bestätigt. Und nun weißt du auch, wie man das ausrechnet.

23.10.2010, 14:58

Surilou

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Das ist super! Danke für Deine Geduld smile

smile

smile

23.10.2010, 15:03

tigerbine

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Gerne.

Wink

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