schwache Ableitung von abs(x)^-\alpha

23.10.2010, 13:00	Won	Auf diesen Beitrag antworten »
schwache Ableitung von abs(x)^-\alpha Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht so ganz weiß, wie ich rangehen soll: Betrachen Sie folgende auf $\begin{eqnarray} B_1(0) \subseteq R^n \end{eqnarray}$ definierte Funktion: $\begin{eqnarray} u(x)=abs(x)^{-\alpha} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ und u(0):=0 Für welche Werte von $\begin{eqnarray} \alpha >0 \end{eqnarray}$ , n und p hat u eine schwache Ableitung in $\begin{eqnarray} L^p(B_1(0)) \end{eqnarray}$ ? Im Skript haben wir ein kleines Beispiel dazu, wo wir $\begin{eqnarray} abs(x)^p \end{eqnarray}$ betrachten, und sagen, dass ues auf $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ schwach diffbar für $\begin{eqnarray} p> 1-n \end{eqnarray}$ ist mit Ableitung $\begin{eqnarray} Du(x)=p \cdot abs(x)^{p-1}\cdot\frac{x}{abs(x)} \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht ganz, warum $\begin{eqnarray} p > 1-n \end{eqnarray}$ sein muss, habe mir nur dass geschrieben, wenn $\begin{eqnarray} p-1\le -n \end{eqnarray}$ wäre, wäre es keine $\begin{eqnarray} L_loc^1 \end{eqnarray}$ -Funktion mehr. Ich habe das ganze jetzt einfach mal analog gemacht, und komme auf die Ableitung: $\begin{eqnarray} Du(x)=-\alpha \cdot abs(x)^{-\alpha-1}\cdot\frac{x}{abs(x)} \end{eqnarray}$ . Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich Aussagen über meine Parameter machen kann. Hoffe mir kann jemand helfen!

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