Bestimmung des Minimalpolynoms

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23.10.2010, 17:29	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung des Minimalpolynoms Hallo Leute , ich seitze vor folgender Aufgabe : Bestimmen Sie das Minimalpolynom der Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ -1 & 4 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in Mat(4 x 4, \mathbb C ) \end{eqnarray}$ Angefangen habe ich damit, das Char. Poly. zu berechnen. Fpr dieses habe ich herraus $\begin{eqnarray} p_A \end{eqnarray}$ = ( T -1 ) ( T - 4 ) ( T - 2 )² Nun muss ja das Minimalpolynom ein Teiler des Char.Polys. sein. Also gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten für das Minimalpolynom : ( T -1 ) ( T - 4 ) ( T - 2 )² oder ( T -1 ) ( T - 4 ) ( T - 2 ) Nun muss ich ja meine Matrix A in diese beiden Polynome einsetzen und schauen, bei welchem die Nullmatrix herrauskommt. Das tut es bei mir aber leider bei keinem! Habe ich nur einen dummen Rechenfehler begangen oder habe ich noch etwas übersehen? Thx for any help!
23.10.2010, 17:38	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Anstatt dir das anzutun könntest du auch den Kern von $\begin{eqnarray} A-2 \end{eqnarray}$ berechnen. Dessen Dimension liefert dir dann Aufschluss über die Gestalt des Minimalpolynoms. Weißt du warum? Edit: Das war jetzt natürlich unter der Annahme, dass dein charakteristisches Polynom stimmt. Das tut es jedoch nicht. Der erste Schritt sollte also sein, das nochmal zu machen. Trotzdem hilft dir die Berechnung des Kerns von $\begin{eqnarray} A-2 \end{eqnarray}$ weiter - ein glücklicher Zufall.
23.10.2010, 18:51	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt , schon zu doof das CP auszurechen. Jedenfalls hab ichs jetzt, das CP ist dann am Ende gleich dem Minimalpolynom. Also ( T - 1 ) ( T - 6 ) ( T - 2 )² Ich muss zugeben, dass das Berechnen eines Kerns mir chon immer Schwierigkeiten gemacht hat. Vielleicht sollte ich das direkt nochmal üben. Also ich soll den Kern von A-2 berechnen. Der Kern sind ja al jene Elemente, welche auf 0 abgebildet werden. Jetzt stellt sich mir nur - wie immer - die Frage, wie ich denn den Kern berechne? X_X Habe gerade nochmal n achgeschaut und ist es so, dass ich für den Kern das Gleichungssystem betrachten muss, welches ensteht wenn ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 & -4 \\ -1 & 2 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ d_1 & d_2 \end{pmatrix} = Nullmatrix \end{eqnarray}$ berrechne? Anonsten schonmal danke.
23.10.2010, 20:04	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch $\begin{eqnarray} (X-1)(X-6)(X-2)^2 \end{eqnarray}$ ist nicht richtig, das charakteristische Polynom ist $\begin{eqnarray} (X-3)(X-2)^2 \end{eqnarray}$ . Das Bestimmen des Kerns entspricht dem Lösen des linearen Gleichungssystems $\begin{eqnarray} (A-2)x=0 \end{eqnarray}$ . Das solltest du ganz dringend wiederholen, falls du es nicht beherrschst.
23.10.2010, 20:07	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ganz allgemein als Frage : Ich will das CP einer Matrix bestimmen. Kann ich dann den Gauß-Algo. auf diese Matrix anwenden, um diese auf Zeilenstufenform zu bringen? Denn dann kann man ja das CP ganz leicht ablesen. Oder verändert das Anwenden von Gauß auch das CP?
23.10.2010, 20:39	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier stand mal Quatsch, kommt noch was ^^
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23.10.2010, 20:52	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Gauß-Algo. anwenden dürftest, könntest du dir das Minimalpolynom mehr oder weniger aussuchen... Bei einer Ähnlichkeitstransformation $\begin{eqnarray} Q^{-1}AQ=J \end{eqnarray}$ bleibt das Minimalpolynom erhalten. Bei einem linearen Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ wird nur von einer Seite mit einer invertierbaren Matrix multipliziert. Man erhält $\begin{eqnarray} PAx=Pb \end{eqnarray}$ .
23.10.2010, 21:26	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich check nach vielen Versuchen immer noch nicht, wie jester zu diesem CP kommt. Ich bekomme immer was anderes heraus. Mit dem Gauß komme ich halt zu dem schon erwähnten CP. Ich habs auch nochmal mit Laplace versucht, da bekomme ich sogar als CP folgendes heraus : $\begin{eqnarray} ( \lambda -1)(\lambda -4)(\lambda -2)² + 2(\lambda -2)² \end{eqnarray}$ Welche Vorgehensweise würdet ihr mir vorschlagen, um die Determinante und damit das CP zu berechnen? Nochmal in kurz wie ich vorgegangen bin : Ich habe $\begin{eqnarray} \lambda \cdot E_4 - A \end{eqnarray}$ berechnet. Von dieser Matrix will ich halt die Determinante haben. Dann habe ich nach der vierten Zeile mit $\begin{eqnarray} (\lambda -2) \end{eqnarray}$ entwickelt. Dabei kam $\begin{eqnarray} ( \lambda -1)(\lambda -4)(\lambda -2)² + 2(\lambda -2)² \end{eqnarray}$ heraus. Und bei meinem ersten Ergebnis hatte ich halt meine ganz normale Matrix A genommen. Ich subtrahierte die erste Zeile zur Zweiten, um so auf eine Dreiecksform zu kommen, wodurch die Determinante ja nur noch dem Produkt der Hauptdiagonaleinträge entspricht. Dabei kam $\begin{eqnarray} (\lambda -1)(\lambda -6)(\lambda -2)^2 \end{eqnarray}$ heraus. Worher diese (X-3) her kommen sollen frage ich mich am Meisten !
23.10.2010, 21:38	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich habe jester´s CP nochmal getestet. Nämlich gibt es ja den Satz, dass eine Matrix A Nullstelle ihres Charakteristischen Polynoms ist. Aber dies trifft auf seins nicht zu. Denn wenn ich A einsetze und das Ganze mal ausrechne, kommt nicht die Nullmatrix heraus. Somit kann jesters CP auch garnicht richtig sein oder? Und ich habs nochmal mit meinem Polynom $\begin{eqnarray} (\lambda -1)(\lambda -6)(\lambda -2)^2 \end{eqnarray}$ versucht. Wenn ich da die Matrix A einsetze, kommt auch wirklich 0 heraus. Ich werd immer verwirrter und verwirrter. X_X Edit : Genauser gesagt ist es der Satz von Caylay Hamilton. http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton
23.10.2010, 21:51	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich glaube Jester hat sich vertippt und das Minimalpolynom ist das charakteristische Polynom also $\begin{eqnarray} (X-3)(X-2)^3 \end{eqnarray}$ . Wie kommst du auf dein Polynom? Die Nullstellen sind doch zum Teil gar keine Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ -1 & 4 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nein da kommt definitiv nicht null heraus!
23.10.2010, 21:59	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, in der Tat habe ich mich vertippt.
23.10.2010, 22:56	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok,damit wäre geklärt wie das CP aussieht. Aber auf meine Fragezeichen seit ihr absolut nicht eingegangen. X_X Fangen wir mal damit an : Habt ihr mit der Laplace-Entwicklung gearbeitet? Ich poste mal dazu meinen Rechenweg. Erstmal $\begin{eqnarray} \lambda \cdot E_4 - A \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich dann halt die Matrix, welche ich einfach mal B nenne. $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} \lambda -1 & 2 & 3 & -4 \\ -1 & \lambda -4 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun mit der Laplace-Entwicklung nach der vierten-Zeile die Determinante bestimmen: $\begin{eqnarray} det(B) = ( -1 )^{4+4} \cdot (\lambda -2 ) \cdot det(\begin{pmatrix} \lambda -1 & 2 & 3 \\ -1 & \lambda -4 & 2 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(B) = (\lambda -2) \cdot [ (\lambda -1)(\lambda -4)(\lambda -2) + 2 (\lambda -2) ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(B) = (\lambda -1)(\lambda -4)(\lambda -2)^2 + 2 (\lambda -2)^2 \end{eqnarray}$ Wo liegt mein Fehler?Beim Anwenden der Laplace-Entwicklung? Danke erstmal für eure Mühen bisher. ^^
23.10.2010, 23:07	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe in diese letze Form auch nochmal die Matrix A eingesetzt und extra mit einem Online-Matrizenmultiplikator gerechnet. Dabei kam am Ende auch die Nullmatrix heraus.
23.10.2010, 23:27	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, dass die letzte Zeile stimmt. Insbesondere sind die Nullstelle $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ ...
24.10.2010, 01:22	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt , das letzte hätte ich auch selber merken können hehe. Danke ^^

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