Überprüfung auf Diagonalisierbarkeit

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung auf Diagonalisierbarkeit
Nabend , die Aufgabe vor der ich stehe sieht wie folgt aus :

Entscheiden Sie, ob die Matrix



diagonalisierbar it. Begründen sie ihre Entscheidung.

Also ich habe da zu erstmal versucht das CP zu bestimmen.

Dieses lautet bei mir ( T - 5 ) ( T - 1 ) ²

Also habe ich als Eigenwerte 5 und 1.

Wenn ich mich richtig erinnere gab es ja den Satz, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie also n x n - Matrix n paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt.

Hier hätte diese Matrix ja nur 2 verschiedene Eigenwerte, obwohl es aber 3 sein müssten. Demnach ist die Matrix auch nicht diagonalisierbar oder?

Edit : Begründung dafür wäre, weil diese 3 Eigenvektoren nicht mehr den R³ bilden würden. 2 Vektoren wäre ja nicht mehr linear unabhängig.



Da fällt mir als Frage ein, kann ich eigtnlich, wenn ich das CP einer Matrix haben will, diese Matrix mit dem Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform bringen, um dann anhand der Hauptdiagonalen schnell das CP ablesen zu können, oder verändert das Anwenden des Gaußalgorithmus auch das CP?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Einheitsmatrix ist offensichtlich diagonalisierbar und hat , also nur einen Eigenwert. Du verwechelst das mit Eigenvektoren.

Verwende hier den Satz (natürlich nur sofern ihr ihn hattet):
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok , also zunächst einmal habe ich festgestellt, dass mein CP falsch ist.

Das Charakterristische Polynom lautet am Ende

T ³ - 6 T ² + 11 T + 1314

Jetzt muss ich also schauen, dass dieses Polynom in der Art

( T - a ) ( T - b ) ( T - c ) ...

zerfällt richtig?Und wenn dem nicht so ist, ist sie halt nicht diagonalisierbar.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Lies nochmal den Satz durch, den ich dir als Hilfestellung gegeben habe, was muss in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfallen? Augenzwinkern

Edit: Wobei das natürlich auch dann der Fall ist, wenn das charakt. Polynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Das Minimalpolynom muss also zerfallen und nicht das CP?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wenn das charakt. Polynom zerfällt, ist die Matrix zwar auch diagonalisierbar, allerdings gilt nicht die Rückrichtung (d.h. "wenn das charakt. Polynom nicht zerfällt, ist die Matrix nicht diagonalisierbar" gilt nicht, Einheitsmatrix wieder als leichtes Beispiel).
 
 
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe dann gerade nochmal weiter an der Aufgabe gearbeitet.

Das Cp dieser Matrix lautet ja



Durch ausprobieren bin ich zu einer Nullstelle bei -9 gekommen.

Nun habe ich also durch Polynomdivision das Polynom herausbekommen, von welchem ich ja die weiteren Nullstellen erarbeiten muss.

Dabei kommen allerdings komplexe Nullstellen heraus.

Also habe ich als Nullstellen



( Hier mal so nebenbei eine Frage , kann ich darstellen als i * oder wie war das nochmal? Hab das irgendwie die ganze Zeit so im Kopf, aber ich bin mir garnicht mehr so sicher, ob das auch richtig ist. )


Und dann zu meiner eigentlichen Frage:

Wie genau mache ich nun weiter?
Jemand meint, dass weil es beim CP komplexe Nullstellen gibt und die Einträge der Matrix aus R sein müssen, dass MP nicht mehr in Linearfaktoren zerfallen kann. Ist das so?
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne hier einfach dazwischenplatzen zu wollen aber ich hab dieselbe Aufgabe. Du hast dich beim charakteristischen Polynom wohl verrechnet, weil bei mir passte das alles wunderbar (kann natürlich auch falsch sein) Big Laugh Ich hatte am Ende nicht +1314, sondern -6.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hm also jemand anderes hier hat auch +1314 raus. ^^

Außerdem passt mir das irgendwie viel zu gut bei der Polynomdivision,weil das absolut super aufging. Ich schreib mal meinen Rechenweg auf.

Also die Determinante ist ja erstmal bestimmt durch :

( T - 15 ) ( T + 1 ) ( T + 8 ) + 324 + 336 + 126 ( T + 1 ) - 24 ( T - 15 ) + 36 ( T + 8 )


( T² - T14 T - 15 ) ( T + 8 ) + 126 T + 126 - 24 T + 360 + 36 T + 288 + 660

T³ - 6 T² + 11T + 1314
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich genauso, nur halt -324-336, folglich -660.
Wie kommst du denn auf das positive Vorzeichen? ergeben bei mir -324... verwirrt edit: also ich hab die Determinante mit der Sarrusregel berechnet,hätt ich vielleicht dazuschreiben sollen, sonst klingts ein wenig unverständlich.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt , ich habe bei der Matrix die 18 einfach 18 gelassen und vergessen, dass ich ja minus die Matrix A nehme. Ok Dann mach ichs doch gleich nochmal. Danke ^^
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,dann noch viel Spaß beim Rechnen,muss jetzt auch off. Wink
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Yo habs raus , Eigenwerte 1 , 2 und 3 und sie ist auch diagbar. , da das MP zerfällt etc.

Es sind bei mir immer solche dummen Gedanken- / Rechenfehler, welche mich daran hindern eine Aufgabe zu lösen. Grml

Nochmal danke für deinen Einwand Van
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