Kombinatorik |
| 23.10.2010, 23:20 | C++ Freak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kombinatorik Hallo zusammen, ich bereite mich momentan auf eine Stochastikklausr vor. Ich habe jedoch Schwierigkeiten mit der Kombinatorik. Zwar ist mir das Urnenmodell klar und die 4 Fälle (Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge etc.) sind mir auch klar und ich kenne die jeweiligen Formeln dafür, doch trotzdem macht mir das Thema zu schaffen. Jetzt habe ich folgende Aufgaben: Ich habe drei Würfel. Wie viele Kombinationen gibt es, in denen nur ein Würfel eine 1 zeigt? Die anderen beiden Würfel müssen eine andere Zahl zeigen! Wie berechne ich das? Ich habe mir das gleiche Problem mit zwei Würfeln vorgestellt und durch Abzählen weiß ich, dass es 10 Kombinationen gibt. Doch wie mache ich das rechnerisch für 2, 3 und n Würfel? Vielen Dank für eure Hilfe lg Meine Ideen: Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, dass bei drei Würfeln nur einer eine 1 zeigt, habe ich folgendermaßen gerechnet: (1/6) * (5/6) * (5/6) Ich weiß jedoch weder, ob das stimmt, noch wie ich auf die Anzahl der Kombinationen schließen kann |
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| 23.10.2010, 23:30 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kombinatorik Die drei Würfel mögen eine unterschiedliche Farbe haben, also unterscheidbar sein. Dann 3 Möglichkeiten welcher Würfel die 1 hat 2 *5 Möglichkeiten für die anderen für die anderen Würfel. ==================== 3*(2*5) Mit 2 unterscheidbaren Würfeln 2 Möglichkeiten welcher Würfel die 1 hat 5 Möglichkeiten für den anderen Würfel. ========================== 2*(1*5) Wenn man sich die Mühe mit der Anzahl schon gemacht hat, kann man bei der WS über den Quotient "Treffer"/Alle Ergebnisse gehen. Insgesamt hast du 6*6*6 Möglichkeiten. Das Modell läßt sich schon mit der Zahlenschloss Aufgabe vergleichen. |
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| 23.10.2010, 23:36 | C++ Freak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Herzlichen Dank! Du hast mir sehr geholfen. Das ging ja echt schnell! Danke! lg |
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| 24.10.2010, 09:30 | C++ Freak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe noch eine Frage: Warum lässt sich die Wahrscheinlichkeit nicht mit meiner vorgeschlagenen Variante (unter "Meine Ideen") berechnen? Für drei Würfel (5/6)^2 * (1/6) Da kommt 25/216 raus. Der Zähler ist aber nicht 30, wie Du gesagt hast. Wo liegt hier also der Denkfehler? Vielen Dank lg |
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| 24.10.2010, 10:19 | C++ Freak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe eben noch was vergessen. Angenommen jetzt ist die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei Würfel eine 1 und einer eine andere Zahl würfeln soll. Stimmt die folgende Berechnung? 3 Möglichkeiten, welcher Würfel die 1 hat. 2 Möglichkeiten, welcher Würfel die andere 1 hat. 5 Möglichkeiten für den letzten Würfel Also: 2 * 3 * 5 = 30 Da kommt auch 30 heraus. Kann das stimmen? Vielen Dank lg |
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| 24.10.2010, 10:38 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kombinatorik
Das stimmt nicht. Für die anderen beiden Würfel gibt es 5*5 = 5^2 Möglichkeiten. Insgesamt also 3*5*5 = 75 Möglichkeiten. |
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| 24.10.2010, 13:48 | C++ Freak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo zusammen, irgendwie komme ich nicht ganz hinter diese Logik. Also: Es gibt 1 Fall, bei dem drei Einsen fallen. Es gibt 2 * 3 * 5 = 30 Fälle, bei denen zwei Einsen fallen (Der Erste Würfel hat drei Möglichkeiten, der zweite 2 und der dritte 5). Es gibt 3 * 5 * 5 = 75 Möglichkeiten, bei denen eine 1 fällt. Es gibt 5 * 5 * 5 = 125 Fälle, bei denen gar keine 1 fällt Das passt aber nicht, denn 1+30+125+75 ist nicht 216 (alle Fälle). Was mache ich noch falsch? Vielen Dank lg |
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| 24.10.2010, 14:07 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt nur 3*5 = 15 Möglichkeiten, bei denen 2 Einsen fallen. |
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| 24.10.2010, 14:17 | C++ Freak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum? Ich dachte, ich hätte es verstanden! Wie kommst Du daruaf? Außerdem frage ich mich, wie man rechnerisch rausfindet, dass es nur eine Möglichkeit gibt, drei Einsen zu würfeln. Könnt ihr mir die Rechnung erklären?! Die verstehe ich nicht.... Danke! lg |
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| 24.10.2010, 14:28 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt dann einen Würfel, der keine 1 zeigt. Das kann der Würfel A, B, oder C sein. Wenn es der Würfel A ist, dann kann der 2, 3, 4, 5, oder 6 zeigen. Die beiden anderen Würfel zeigen dann 1. Das sind also 5 Möglichkeiten. Wenn es der Würfel B oder C ist, kommen noch mal jeweis 5 Mäglichkeiten hinzu. Also sind es ingesamt 5 + 5 +5 = 3*5 = 15.
Wenn du solche Fragen stellst, wird das nie etwas. Man darf in der Mathematik auch den gesunden Menschenverstand benutzen. Formal folgt es einfach durch Multilikation der Möglichkeiten für jeden Würfel: 1*1*1 = 1. |
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| 24.10.2010, 14:54 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohne zur weiteren Verwirrung beizutragen, bietet sich bei solchen Aufgaben auch immer das Fahrradschlossprinzip an. Damit kann man sich das meistens besser veranschaulichen. In diesem Fall hat man 3 Rollen mit je 6 möglichen Ziffern. "Einfacher", weil leichter abzuzählen ist es für uns Menschen 
immer mit Rollen, die 10 Ziffern tragen. Weil dann jeder Kombination eine Zahl des Dezimalsystems, die in ihrer Gestalt der Kombination entspricht, zugeordnet werden kann. Daraus ergibt sich dann direkt die Mächtigkeit von (macht Sinn, denn ein Fahrradschloss mit 3 Rädchen zu je 10 Ziffern kann genau alle Zahlen von 0 bis 999 "darstellen". Das sind 1000 Stück).Aber auch bei 3 Rollen mit jeweils 10 möglichen Ziffern gibt es genau einen Fall mit 111. Das ist die "Nummer" 111. (Nummer 0 ist 000, Nummer 1 ist 001, ..., Nummer 999 ist 999). Vielleicht hat es dir das Modell (auch für den Fall von 6 Ziffern pro Rolle, was dem Sechser-System entspräche) noch etwas illustrieren können. |
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| 24.10.2010, 15:12 | C++ Freak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leute, ich habe es begriffen. Danke für eure Hilfe! Super! Ich konnte jetzt auch eine andere Aufgabe lösen. Noch eine andere Frage. Kann man mit dieser Logik auch solche Aufgaben lösen. "Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wenn die Augensumme größer als 8 ist, hat man gewonnen." Diese Aufgabe ist jetzt nicht schwierig und ich konnte sie durch ein Baumdiagramm lösen. Doch kann man die Möglichkeiten, mit welcher die Summe größer als 8 ist, auch berechnen. Was ich meine: Angenommen man hat 10 Würfel und die Frage ist, wie viele Möglichkeiten es gibt, damit die Summe größer als 25 ist. Ich könnte das jetzt nur umständlich durch Ausprobieren lösen. Doch wie kann man das berechnen. Ich danke euch vielmals 
lg |
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