Spatprodukt Umformung

24.10.2010, 08:24

fredddy

Spatprodukt Umformung

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit dem Poynting Theorem. Es lautet:

$\begin{eqnarray*} \nabla \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*) = \vec{H}^* \circ (\nabla \times \vec{E}) - \vec{E} \circ (\nabla \times \vec{H}^*) \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist, wie kommt man auf die Umformung rechts des =-Zeichens. Müsste das nicht sogar 0 ergeben? Schließlich ist

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \circ (\vec{b} \times \vec{c}) &=& \vec{b} \circ (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \circ (\vec{a} \times \vec{b}) = det(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) \end{eqnarray*}$

oder irre ich?

Meine Ideen:
Ansatz nach Definition Skalarprodukt (...a b = |a||b|cos....) und Vektorprodukt lassen keine Differenz zu... Ein weiteres Gesetz fällt mir nicht ein und kann auch nix dazu googlen...

24.10.2010, 10:11

Huggy

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RE: Spatprodukt Umformung

Zitat:

Original von fredddy
$\begin{eqnarray*} \nabla \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*) = \vec{H}^* \circ (\nabla \times \vec{E}) - \vec{E} \circ (\nabla \times \vec{H}^*) \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist, wie kommt man auf die Umformung rechts des =-Zeichens. Müsste das nicht sogar 0 ergeben? Schließlich ist

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \circ (\vec{b} \times \vec{c}) &=& \vec{b} \circ (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \circ (\vec{a} \times \vec{b}) = det(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) \end{eqnarray*}$

Wenn man Differentialoperatoren in solchen Ausdrücken formal wie normale Vektoren behandelt, erleichtert das zwar viele Umformungen, hat aber auch seine Tücken, wie dieses Beispiel zeigt. In dem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \nabla \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*) \end{eqnarray*}$

wirkt $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ nach der Produktregel der Differentialrechnung auf $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ und auf $\begin{eqnarray*} \vec H^* \end{eqnarray*}$ . Bevor man die Regel über die zyklische Vertauschbarkeit beim Spatprodukt anwendet, muss also erst mal nach der Produktregel differenziert werden. Das kann man formal so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \nabla \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*)=\nabla_E \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*)+\nabla_H \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*) \end{eqnarray*}$

Dabei soll der Index andeuten, auf welchen Vektor der Operator wirken soll. Erst jetzt darf man nach der Regel des Spatprodukts auf der rechten Seite den Operator an die Stelle vor den Vektor schieben, auf den er wirken soll. Dann kann man den Index wieder weglassen. Das gelingt aber nur teilweise. Man erhält zunächst:

$\begin{eqnarray*} \nabla \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*)=\nabla_E \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*)+\nabla_H \circ (\vec{E} \times \vec{H}^*)=\vec H^* \circ(\nabla \times \vec E)+\vec E \circ (\vec H^* \times \nabla) \end{eqnarray*}$

Wenn man im letzten Term dann noch die Regel $\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b = -\vec b \times \vec a \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec H^* \times \nabla \end{eqnarray*}$ formal anwendet, hat man das gesuchte Ergebnis.

Umständlicher, aber deutlich sicher kommt man zum Ziel, wenn man das Ganze von Anfang an komponentenweise hinschreibt.

14.11.2010, 09:04

fredddy_

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Klasse! Eine perfekte Erklärung! Das löst so viele Probleme smile

Danke dir tausendmal!!

Grüße

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