Beweis Axiom Wahrscheinlichkeit

24.10.2010, 10:17

WR

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis Axiom Wahrscheinlichkeit

Wie kann ich folgende Gleichung zeigen, wobei $\begin{eqnarray*} \left(\Omega, \mathcal F, P\right) \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum ist und $\begin{eqnarray*} A, B \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ gilt?

$\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right) = P\left(A^{c}\right)P\left(B\right)-P\left(A^{c}\cap B\right) \end{eqnarray*}$

Ich bräuchte einen Tipp für einen sinnvollen Umformungsschritt, evtl. wie ich mit dem $\begin{eqnarray*} P\left(A\right) P\left(B\right) \end{eqnarray*}$ umgehe?!

Danke schonmal!!

24.10.2010, 10:34

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Gleichung ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\right) + P\left(A^{c}\cap B\right) = P\left(A\right)P\left(B\right) + P\left(A^{c}\right)P\left(B\right) \end{eqnarray*}$ .

Und dann links und rechts geeignet zusammenfassen, das kann nicht so schwer sein, wenn man die Augen aufmacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2010, 11:49

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine absolut korrekt gestellte Aufgabe mit der Bitte um einen Tipp wird hier mit ekelhaften Meta-Informationen über den Schwierigkeitsgrad unter welchen körperlichen Bedingungen beantwortet. Beschämend.

24.10.2010, 11:52

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist aber einer empfindlich.

Meiner Empfindung nach ist ein mit einem lachenden Smilie verbundenes "Augen auf!" schon noch was anderes als ein "Du bist ja ein blinder Nichtskönner!" - als letzteres hast du es wohl gleich gelesen! Du hast ein Problem, wenn du die Menschen gleich so boshaft (oder wie du sagst: "ekelhaft") einschätzen willst - ich habe es jedenfalls nicht so gemeint.

24.10.2010, 12:02

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Uff. Was war hier denn los?
Der Tipp von Rene ist doch völlig in Ordnung verwirrt

verwirrt

air

24.10.2010, 13:17

WR

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt melded sich mal wieder der Fragesteller zurück Augenzwinkern

Augenzwinkern

Immer schön cool bleiben und nicht Forum Kloppe

Forum Kloppe

!! Ich hatte um einen Tipp gebeten und wollte doch keine Grundsatzdiskussion auslösen... Prost

Prost

Back to topic:

Danke René, ich bin damit ein Stückchen weitergekommen (war ja eigentlich trivial deine Umformung... hatte die ganze Zeit viel komplizierter gedacht).
Die rechte Seite $\begin{eqnarray*} P\left(A\right)P\left(B\right) + P\left(A^{c}\right)P\left(B\right) \end{eqnarray*}$ (die ich eigentlich zuerst für schwieriger gehalten hatte...) kann man ja ganz einfach zu $\begin{eqnarray*} P\left(B\right) \end{eqnarray*}$ umformen.

Somit sollte ich die linke Seite $\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\right) + P\left(A^{c}\cap B\right) \end{eqnarray*}$ ja ebenfalls zu $\begin{eqnarray*} P\left(B\right) \end{eqnarray*}$ umformen können! Gibt es da irgendeine Rechenregel?

Ich habe versucht mit den Axiomen von Kolmogorow weiterzukommen, also insbesondere $\begin{eqnarray*} P\left(X\cap Y\right) = P\left(X\right)+P\left(Y\right)-P\left(X\cup Y\right) \end{eqnarray*}$ , aber das macht den Term auch nicht einfacher.

Wenn ich mir das an einem Bildchen (zwei Mengen, entsprechendes markieren, ihr könnts euch sicher vorstellen, was ich meine) veranschauliche, dann ist mir intuitiv sofort klar, dass auch die linke Seite $\begin{eqnarray*} =P\left(B\right) \end{eqnarray*}$ ist, aber das Bildchen reicht ja nicht als Beweis, oder?

Ich könnte noch $\begin{eqnarray*} P\left(A^{c}\cap B\right) = P(B)\backslash(A) \end{eqnarray*}$ setzen, hilft das was?

Tut mir Leid, dass ich hier so viele zerhackstückelte Dinge aufschreibe, aber das waren (ein Teil) meiner Überlegungen. Vielleicht hilft euch das was, mir einen Tipp zu geben, in welche Richtung ich weiterdenken muss!

Anzeige

24.10.2010, 13:21

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WR
Somit sollte ich die linke Seite $\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\right) + P\left(A^{c}\cap B\right) \end{eqnarray*}$ ja ebenfalls zu $\begin{eqnarray*} P\left(B\right) \end{eqnarray*}$ umformen können!

Betrachte die beiden beteiligten Ereignisse $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^c\cap B \end{eqnarray*}$ , zunächst ohne Wahrscheinlichkeit:

1. Sind diese beiden Ereignisse disjunkt?

2. Wie ist deren Vereinigung?

Die Beantwortung dieser beiden Fragen sollte dich ein Stück weiter bringen.

24.10.2010, 13:33

WR

Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Ereignisse sind nicht disjunkt, da $\begin{eqnarray*} \left(A\cap B\right) \cap \left(A^c\cap B\right) = B \end{eqnarray*}$

Für die Vereinigung gilt: $\begin{eqnarray*} \left(A\cap B\right) \cup \left(A^c\cap B\right) = B \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} \left(A\cap B\right) \cap \left(A^c\cap B\right) = \left(A\cap B\right) \cup \left(A^c\cap B\right) \end{eqnarray*}$ , aber ob mir das was hilft, weiß ich nicht?!

24.10.2010, 13:39

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vereinigung stimmt, aber über den Durchschnitt

Zitat:

Original von WR
Die beiden Ereignisse sind nicht disjunkt, da $\begin{eqnarray*} \left(A\cap B\right) \cap \left(A^c\cap B\right) = B \end{eqnarray*}$

solltest du nochmal nachdenken!

24.10.2010, 13:50

WR

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich schreibs mal schrittweise:
$\begin{eqnarray*} \left(A \cap B \right) \cap \left(A^c \cap B \right) = A \cap B \cap A^c \cap B = A \cap A^c \cap B \cap B = \varnothing \cap B \neq B \end{eqnarray*}$

...und dann auch gleich den Fehler gefunden...

$\begin{eqnarray*} \left(A \cap B \right) \cap \left(A^c \cap B \right) = ... = \varnothing \cap B = \varnothing \end{eqnarray*}$

Die beiden Ereignisse sind also disjunkt.

Aber was fange ich damit nun an?

24.10.2010, 13:53

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Grundaxiom der Wahrscheinlichkeit besagt, dass die Wahrscheinlichkeit einer disjunkten Vereinigung gleich der Summe der ... muss ich weiterreden? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2010, 14:11

WR

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber
... muss ich weiterreden? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein

Augenzwinkern

hab den entsprechenden Satz gefunden.

Sorry, den kannte ich aber bisher noch nicht (hatte noch keine WR Vorlesung).

Aber damit ist der Rest des Beweises dann ja einfach!

Vielen Dank für deine Geduld!! Wink

Wink

24.10.2010, 14:13

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WR
Aber damit ist der Rest des Beweises dann ja einfach!

Hab ja nie was anderes behauptet. Wink

Wink

24.10.2010, 14:25

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber
Da ist aber einer empfindlich.

Meiner Empfindung nach ist ein mit einem lachenden Smilie verbundenes "Augen auf!" schon noch was anderes als ein "Du bist ja ein blinder Nichtskönner!" - als letzteres hast du es wohl gleich gelesen! Du hast ein Problem, wenn du die Menschen gleich so boshaft (oder wie du sagst: "ekelhaft") einschätzen willst - ich habe es jedenfalls nicht so gemeint.

Boshaft ist, wenn «ekelhafte Info» in «ekelhafterMensch» uminterpretiert wird.

24.10.2010, 14:42

WR

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hört doch auf! René hat das in seiner ersten Antwort vielleicht etwas missverständlich formuliert (auch wenn ich das einerseits eigentlich gar nicht als "böse" oder wie auch immer das jetzt genannt wird aufgefasst habe!! und andererseits war es ja auch mit Augenzwinkern

Augenzwinkern

nochmals gekennzeichnet...), aber spätestens wenn man sich den ganzen Thread durchliest merkt man, dass René sich viel Mühe gegeben hat, mir geduldig auf den Lösungsweg zu verhelfen (ohne gleich einfach die Lösung zu posten, was für ihn sicher schneller und weniger Arbeit gewesen wäre) und dabei in allen seinen weiteren Antworten einen freundlichen Umgangston hatte.
Also vielen Dank an René und @wisili: bitte trage doch in Zukunft etwas produktives zur Lösungsfindung bei oder halte dich raus, aber Bemerkungen darüber, dass ein Post vielleicht so formuliert ist, dass er als unfreundlich aufgefasst werden könnte (und ich mein damit jetzt keine eindeutig unverschämten Antworten wie Beschimpfungen, etc.) helfen einem Fragenden bei der Lösungsfindung nicht weiter. (und das meine ich jetzt ganz freundlich als Tipp für dich!) Wink

Wink

24.10.2010, 14:48

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt (weitgehende) Redefreiheit im Forum, also kann auch wisili seine Meinung äußern, wenn er das für nötig hält. Jeder kann dann für sich entscheiden, ob er diese Meinung ganz, teilweise oder gar nicht teilt.

Schönen Sonntag noch allen Beteiligten. Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »