Sigma-Algebra

24.10.2010, 10:56

Katrin_23

Sigma-Algebra

Meine Frage:
Bestimmen Sie alle Sigma- Algebren auf der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,2,3 \right\} \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \left\{ 0, \right\}, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 2,3 \right\} \end{eqnarray*}$ enthalten.

Meine Ideen:
Ich komm nicht so ganz weiter, vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Ist denn die Menge von (leerer Menge, Omega, Menge von (1,2,3,4) , Omega ohne die Menge (1,2,3,4)) schon eine Sigma-Algebra?

24.10.2010, 11:15

org

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RE: Sigma-Algebra
Omega= $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,2,3 \right\} \end{eqnarray*}$ ??

(1,2,3,4) woher kommt die 4? Ausserdem bei Mengen immer {} verwenden.

> Ist denn die Menge von (leerer Menge, Omega, Menge von (1,2,3,4) , Omega ohne die Menge (1,2,3,4)) schon eine Sigma-Algebra?

Versteh ich nicht.

Idee: Überprüfe erstmal, ob die Elementarereignisse {0},{1},{2},{3} in der Sigma-Algebra liegen oder welches davon nicht.

24.10.2010, 12:09

Katrin_23

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Oh, ich hab mich verschrieben.
Ich muss doch die Sigma-Algebren auf $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,2,3 \right\} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Also ist in der Sigma-Algebra schon mal die leere Menge und Omega ( $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,2,3 \right\} \end{eqnarray*}$ ) drin.
Desweiteren ja die Elementarereignisse, deren Vereinigung sowie die Komplemente.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was in Omega hier die Elementareignisse sind?
Alle einzelnen, also die Menge von 0, von 1, von 2, von 3 oder nicht?

24.10.2010, 12:12

org

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Schau nach, ob {0},{1},{2},{3} in der Sigma-Algebra liegen. Das wird dir Klarheit bringen.

24.10.2010, 12:35

Katrin_23

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RE: Sigma-Algebra
Also gut,
wäre:
$\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ 0,1,2,3 \right\}, \left\{ 0\right\},\left\{ 1,2,3\right\}, \left\{ 2,3\right\} ,\left\{ 0,1\right\}, \left\{ 1,2\right\} , \left\{ 0,3\right\} , \left\{ 1\right\} , \left\{ 3\right\} ,\left\{ 4\right\} , \left\{ 0,2,3\right\} , \left\{0,1,2 \right\},\left\{ 0,4\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra, die gesucht ist?

24.10.2010, 15:15

funda

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RE: Sigma-Algebra
wieso {4} und {0,4}??? wie kommst du darauf?

24.10.2010, 15:21

Katrin_23

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oh man, ich hab mich schon wieder vertan....alles das mit der 4 muss natürlich weg....
dann weiß ich aber immer noch nichtv weiter...

24.10.2010, 15:29

funda

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RE: Sigma-Algebra
{{0,1,2,3}, {0}, {1,2,3},{ 2,3} ,{ 0,1}, { 1,2} ,{ 0,3} {1} , {2}, {3}}müsste doch auch schon eine sigma-algebra sein oder nicht? gibt es da noch andere? :S
wir haben die Menge omega drin, die leere menge (ich nehme mal an das ist hier die {0}) die komplemente und die vereinigungen...

24.10.2010, 15:31

René Gruber

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Zitat:

Original von org
Schau nach, ob {0},{1},{2},{3} in der Sigma-Algebra liegen. Das wird dir Klarheit bringen.

Das ist ein sehr guter Vorschlag, über den ihr nachdenken solltet:

Endliche Sigma-Algebren bestehen immer aus einer Anzahl von atomaren (d.h. (innerhalb der Sigmaalgebra) nicht weiter teilbaren) Mengen sowie allen möglichen Vereinigungen dieser atomaren Mengen. Sind nun sogar sämtliche Einermengen in der Sigma-Algebra, dann kann letztere nur die Potenzmenge der Grundmenge sein.

24.10.2010, 15:38

funda

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Ja die liegen in der Sigma-Algebra, da wir ja die vereinigung brauchen. und {0}, {1}, {2}, {3} vereinigt, ergibt doch unsere anfangsmenge omega. verwirrt

24.10.2010, 15:43

René Gruber

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Zitat:

Original von funda
Ja die liegen in der Sigma-Algebra

Das ist zwar richtig, aber das

Zitat:

Original von funda
da wir ja die vereinigung brauchen. und {0}, {1}, {2}, {3} vereinigt, ergibt doch unsere anfangsmenge omega. verwirrt

ist die falsche Begründung dafür. Du musst das irgendwie noch aus den weiteren Informationen

$\begin{eqnarray*} \{0\}, \{1,2\},\{2,3\} \in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$

folgern (Ich war mal so frei, die besagte Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ zu nennen).

Zur Erinnerung: Mit zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ sind auch deren Vereinigung, Durchschnitt, Differenz, Komplement in der Sigma-Algebra vorhanden - das musst du nutzen!

24.10.2010, 15:56

Katrin_23

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$\begin{eqnarray*} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ liegt also drin, weil sie das komplement von $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,2,3 \right\} \end{eqnarray*}$ ist (der Vereinigung) , $\begin{eqnarray*} \left\{3\right\} \end{eqnarray*}$ weil sie das Komplement von $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,2 \right\} \end{eqnarray*}$ (auch wieder einer Vereinigung) ist und die $\begin{eqnarray*} \left\{ 2\right\} \end{eqnarray*}$ weil sie das komplement zu $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,3\right\} \end{eqnarray*}$ ist (Vereinigung aus $\begin{eqnarray*} \left\{0,3\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$
Also ist die sigma-algebra die Potenzmenge von Omega?
Gibt es denn noch welche?

24.10.2010, 16:01

René Gruber

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Du hast nachgewiesen, dass die Potenzmenge die kleinste Sigma-Algebra ist, die die genannten Mengen enthält. Gleichzeitig ist die Potenzmenge aber immer die größte überhaupt mögliche Sigma-Algebra über dieser Grundmenge - da bleibt nicht viel Platz dazwischen. Augenzwinkern

Oder im Klartext: Es ist die einzige.

24.10.2010, 16:11

Katrin_23

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Vielen, vielen Dank smile

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