Lineares Gleichungssystem

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Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem
Hallo, ich soll ein lineares Gleichungssystem erreichnen. Und zwar die Variablen a und b. Jedoch haben wir im Script immer nur normale Zahlen gehabt und keine Variablen. Wie komme ich an diese Variablen ran?

Beispiel:
x+2-x=2
x+2x+x+x=1
2x+4x+x+ax=5
-2x-4x+3-4=b

Wenn die Variablen a und b nicht wären, wüßte ich was ich tun müste. Ein Koeffizientenmatrix bilden, umwandeln in Treppennormalform und dann Lösungsmengen ermitteln. Aber wie macht man das wenn Variablen enthalten sind?

Wenn ich das mit Variblen probiere, erhalte ich folgede Koeffizientenmatrix

1 2 0 -1 | 2
0 0 1 0 | -1
0 0 0 a-2| 2
0 0 0 -6 | b+7
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Zitat:
Original von Taladan
Beispiel:
x+2-x=2
x+2x+x+x=1
2x+4x+x+ax=5
-2x-4x+3-4=b


Sicher, dass das LGS so aussehen soll? verwirrt

Erste Zeile ist immer wahr, zweite Zeile liefert dir x.
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

So "umständlich" muß man es doch gar nicht machen.
Die erste Gleichung kann man allerdings vergessen, die trägt nicht zur Wahrheitsfindung bei, denn sie gilt für alle x.
Aus der 2. Gleichung läßt sich x ermitteln. Mit der Kenntnis von x erhält man aus der 3. Gleichung a und aus der 4. Gleichung b!
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Zitat:
Original von Taladan
x+2-x=2
x+2x+x+x=1
2x+4x+x+ax=5
-2x-4x+3-4=b


Dies ist aber ünglücklicherweise die Aufgabe

Wobei ich jetzt nullspalten vergessen habe, hier noch mal als matrix aufgeschrieben

In der Aufgabe steht.

Prüfen sie, für wlche a,b Element aus IR (über IR gegebene) lineare Gleichungssystem

lösbar ist.
Und dann muß man die Lösungsmenge bestimmen. Selbst in unserer Newsgroup hat scheinbar keiner der beteiligten Studenten eine Idee wie man das Lösen soll. Gab schon viele Ansätze aber nichts was klappte.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Zitat:
Original von Taladan
Dies ist aber ünglücklicherweise die Aufgabe


Das ist jetzt aber unglücklicherweise eine ganz andere Aufgabe, als du vorher gepostet hast unglücklich

Du wirst mir doch zustimmen, dass

Zitat:
Original von Taladan
x+2-x=2


(was sich vereinfachen lässt zu 0=0) etwas vollkommen anderes ist als , oder?

Bring das LGS auf Zeilenstufenform, dann sehen wir mal weiter.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Zitat:
Original von Iorek
Zeilenstufenform

Wenn du damit die Treppennormalform meinst, dann mach ich so weiter.

In Koeffizientenmatrix
darauf angewendet

darauf angewendet
Dann



Und ab hier weiß ich nicht mehr wirklich weiter





Nun hat allerdings A' einen anderen Rang als A, also dürfte es doch keine Lösung geben, oder?
 
 
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Zeile 1 noch in TNF mit T_13(1)

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Zitat:
Original von Taladan
Zitat:
Original von Iorek
Zeilenstufenform

Wenn du damit die Treppennormalform meinst, dann mach ich so weiter.

In Koeffizientenmatrix
darauf angewendet


Was soll das bedeuten? Du subtrahierst die erste von der zweiten Gleichung? Dann ist da schon ein Fehler drin, überprüf deinen vierten Eintrag.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Das ist die Elementare Zeilenumformung das -1 fache von Zeile 1 auf zeile 2
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Zitat:
Original von Iorek
Dann ist da schon ein Fehler drin, überprüf deinen vierten Eintrag.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
wenn ihr b7 meint, ja das ist ein tippfehler. Soll eigendlich b+7 heißen, aber ich habe auch mit b+7 weiter gerechnet wie man an dem endergebnis sehen kann.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Mit fehlerberichtigung

In Koeffizientenmatrix
darauf angewendet

darauf angewendet
Dann



Und ab hier weiß ich nicht mehr wirklich weiter



Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da ist der Fehler noch immer drin.

Ich nehme doch schon Bezug auf die Umformung, wo der Fehler passiert.

, rechne nochmal nach.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Mit fehlerberichtigung V2

In Koeffizientenmatrix
darauf angewendet

darauf angewendet
Dann

und nun kommen obskure Brüche heraus. kann das richtig sein?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Übersetz dir diese Koeffizientenmatrix mal wieder in Gleichungen zurück, du sollst ja angeben, für welche das LGS lösbar ist, da sollte dir dann eine Idee kommen.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

ist es wirklich soooo einfach? das war auch mal mein gedankengang. aber mir war das zu einfach.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich darfst du dir das wieder als Gleichungssystem aufschreiben Augenzwinkern

Was hast du dann da stehen, was kannst du dann über die Lösbarkeit des LGS in Abhängigkeit von a und b sagen?
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dann habe ich doch


Bzw.


Wie soll ich damit an a bzw b kommen. Das ist doch immer noch mit zwei Unbekannten

Ein a=3 und b = 6 ist doch falsch, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Taladan
Aber dann habe ich doch



Ja, das wäre eine Gleichung die sich ergibt, gucken wir uns die erstmal näher an. Es ist nach dem Wert für gefragt, für den diese Gleichung lösbar ist, welchen Wert darf also nicht annehmen, da sonst eine unlösbare Gleichung entsteht?
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt auf 4 getippt. da dies dann 0X_4 ergibt und das ist ungleich -1
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für a=4 ist die Gleichung unlösbar.

Jetzt verwende das selbe Vorgehen bei der vierten Gleichung.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

So und b ist dann b ungleich -6.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg nochmal genau, ob das wirklich die Lösung ist; was war bei der Wahl von a das Problem, tritt das selbe Problem bei der Wahl von b auf?
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a konnte ich nur bestimmen, was a nicht sein kann. Bei b ist das aber nicht so.



Damit wäre b ja oder läßt man x_4 einfach weg und b=-6?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst nicht b bestimmen, du sollst die Lösbarkeit des LGS in Abhängigkeit von b bestimmen.

Außerdem ist mir gerade noch ein Fehler aufgefallen, solltest du nochmal nachrechnen.

Danach solltest du das Gleichungssystem zu Ende auflösen, bisher haben wir nur einen (noch falschen weil Fehler bei der Umformung) Wert für a, bei dem das LGS nicht lösbar ist. Der nächste Schritt wäre diesen Wert auszuschließen und das Gleichungssystem dann weiter aufzulösen.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Mit fehlerberichtigung V3

In Koeffizientenmatrix
darauf angewendet

darauf angewendet
Dann

darauf angewendet

und nun würde ich noch alle anderen X_4 auf null bringen bis Zeile 3.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Zitat:
Original von Taladan
darauf angewendet



Nein unglücklich

Du willst doch durch teilen, wieso addierst du dann ?
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Mit fehlerberichtigung V4

In Koeffizientenmatrix
darauf angewendet

darauf angewendet
Dann

darauf angewendet

und nu noch die Treppennormalform her stellen mit

Endergebnis sieht doch ziemlich obscure aus.

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das ist jetzt umgeformt, unter der Annahme, dass ist?

Jetzt guck dir mal die letzte Zeile an, welchen Wert darf b nur annehmen, damit das LGS lösbar ist?
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

a darf nicht -4 sein.

Und das verhältnis zwischen a und b lautet



Damit darf b auch nicht -7 sein.

Die Lösungsmenge lautet dadurch

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