Integration verketteter Funktionen.. 13. Klasse

24.10.2010, 12:51

Oli90xx

Integration verketteter Funktionen.. 13. Klasse

Hallo,

die Regel bei den Ableitungen verstehe ich ohne Problem, nur beim Aufleiten habe ich so meine Probleme. Klar, ich kann die Gesetze einfach auswendig lernen, aber könnt ihr mir bitte erklären, wie man schrittweise beim Aufleiten solcher Funkzionen vorgeht?
(Dass f(x) = (1/x) F(x) = ln(x) + c gibt, so was weiß ich schon.. Partielle Integration haben wir in der Schule nicht, ich habe irgendwo davo gelesen.. muss ja auch irgendwie anders gehen?!)

f(x) = a/(k*x+b) = F(x) = (a/k) ln (k*x+b) + c

f(x) = a*sin (b*x) = F(x) = -(a/b) cos (b*x) + c

Wenn ich das verstehen könnte, wär's super..

Vielen Dank schon im Vorraus!

Oli90xx

edit: "Aufleiten" durch "Integration" ersetzt.
LG sulo

24.10.2010, 13:04

Oli90xx

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Und noch die Aufleitung von:

f(x) = 1/(2x-1) wäre sehr nett.

Mein Vorschlag wäre:

F(x) = (1/2) ln (2x-1) .. laut der Formel..

24.10.2010, 13:08

Cel

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Zunächst: Vermeide das Wort "Aufleiten". Das gibt es nicht. Die Formel "fängt" für dich die innere Ableitung ab, sie ist linear. Deswegen klappt das hier so gut. Im Grunde ist das die Substitutionsregel für Stammfunktionen, aber kennst du sie auch?

24.10.2010, 13:18

Oli90xx

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Kann man denn sagen, dass in der Schulmathematik, wenn es um das Integrieren solch schwieriger verketteter Funktionen geht, immer die innere Ableitung das äußere gibt, dass ich also immer vorgehen muss im Sinne von?:

Der Faktor der inneren Ableitung einfach als Bruch nehmen, die äußere Funktion ableiten, das innere lassen und + c?
Also:

f(x) = a / (k*x +b)

a = Vorfaktor der äußeren Funktion, unverändert lassen
geteiltdurch durch äußere Funktion = Integrieren = ln (x)
k = Faktor der Funktion (der beim Ableiten auch übrig blieb, den geteiltdurch!
(kx+b) = innere Funktion, unverändert lassen

Muss ich mir das so kompliziert merken?

Danke für deien Hilfe, Cel, aber für mich ist das sehr schwierig, dir liegtd as wahrscheinlich, ich schrieb in Latein 15 unkte udn lern kein Stecken dafür jedem das seine.. In Mathe bin ich halt ein Depp ^^ Deswegen bin ich auch dankbar für jede Hilfe!

24.10.2010, 13:43

corvus

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.
hast du schon mal die Idee gehabt, zu "googeln" oder so?
gib dazu zB ein:
Integration durch Substitution

und du findest:
http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution
da sind dann auch einige Beispiele dabei

..usw..

24.10.2010, 14:11

Oli90xx

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ok, velen Dank. =)

24.10.2010, 14:17

Mr.Miagy

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vielleicht hilft dir auch dieser Spruch:

Wenn ich von der äußeren Funktion die Ableitung kenne - und die innerer Funktion ist linear.
Dann ist die Stammfunktion von dem ganzen, die Stammfunktion von der äußeren Funktion - mit der inneren Funktion als Argument, geteilt durch die innere Ableitung!

Wink

25.10.2010, 03:31

aleph_math

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Zitat:

Original von Oli90xx
... wenn es um das Integrieren solch schwieriger verketteter Funktionen geht, immer die innere Ableitung das äußere gibt, ...
Der Faktor der inneren Ableitung einfach als Bruch nehmen, die äußere Funktion ableiten, das innere lassen und + c?

"immer?" Nein, das gilt nur für Funkt. wie diese hier, wo im Zähler nur Konst. stehen! Bei rationalen F., wo auch im Zähler das x steht, o. bei Produkten, erst recht bei höheren F., ist es vorbei damit. Dann helfen Substitution o. eben part. Integration.
A propos letzteres, man kann nat. gefehlt o. vergessen haben, aber dass die "partielle I." in der Abiturklasse gar nicht vorgekommen wäre, kann ich nicht glauben u. ich war am humanist.(!) Gymnasium (gibt's das heute noch? Latein UND Griechisch...), das nicht grad für Mathe berühmt ist.. unglücklich

Die "partielle I." ist gar nicht so schwer; Ausgangspunkt ist wie für alle Integr.regeln auch hier eine Differenzierungsregel, nämlich die Produktregel: $\begin{eqnarray*} f(x)=u(x)\cdot v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) \end{eqnarray*}$ .

Integrieren: $\begin{eqnarray*} f(x)=\int u'(x)\cdot v(x)~dx +\int u(x)\cdot v'(x)~dx \end{eqnarray*}$ ;
Umstellen: $\begin{eqnarray*} \int u(x)v'(x)~dx=f(x)-\int u'(x)v(x)~dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)~dx \end{eqnarray*}$ ;
Wenn wir jetzt v'(x) als eigene Funkt. w(x) betrachten u. berücksichtigen, dass das Integral eine Stammfunkt. der Ausgangsfunkt. ist, dann folgt unmittelbar:
$\begin{eqnarray*} \int u(x)w(x)~dx=u(x)W(x)-\int W(x)u'(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

Also Regel f.d. "partielle I.": "Eine der beiden Funkt. unter'm Integral herausnehmen, die andere integrieren u. beide multipliz., dann die integrierte Funkt. unter ein neues Integral stellen, die vorher unbelassene Funkt. jetzt ableiten u. mit unter's Integral nehmen u. dieses von dem Produkt abziehen."
Das schaut kompliziert aus, evtl. unnötig (integrieren & differenzieren u. dann bleibt noch ein Int. über), aber bei geeigneter Wahl vereinfachen sich die einzelnen Terme (zB. kann dadurch eine Funkt. wegfallen) u. das gesamte Integral wird (leichter) lösbar.

Zitat:

Danke für deien Hilfe, Cel, (..) dir liegtd as wahrscheinlich, ich schrieb in Latein 15 unkte udn lern kein Stecken dafür; jedem das seine.. In Mathe bin ich halt ein Depp...

Das war entw. sehr eilig ge- bzw. vertippt, o. ein Legasthenie-Anfall; letzteres würde die Mathe- Prob. evtl. erklären, da damit häufig auch Dyskalkulie, also Rechenschwäche, verbunden ist. Anders. waren die ersten Zeilen ja in Ordnung! Freude

Und für'n "Depp" besteht auch kein besond. Grund, immerhin klappt das Differenzieren ja (lt. eigener Aussage!). Augenzwinkern

Gutes Gelingen! Wink

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