Funktion zum Durchschnitt zweier Mengen

24.10.2010, 15:52	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion zum Durchschnitt zweier Mengen Meine Frage: Hallo Leute! Ich hänge seit einer Woche an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Es seien X und Y Mengen und es sei f: X->Y eine Abbildung. Für A (Teilmenge von) X sei f(A)={f(x)\|xeA}. Für A,B (Teilmenge) X gilt: f(A (geschnitten) B) (ist Teilmenge von) f(A) (geschnitten) f(B) Das soll man beweisen und ich komme einfach nicht weiter. Meine Ideen: Bis jetzt habe ich mir folgendes überlegt: Es existiert ein y e f(A (geschnitten) B) und ein xe(A (geschnitten) B), sodass gilt: f(x)=y Es existiert also ein aeA mit f(a)=y und ein beB mit f(b)=y -> ye f(A) und ye f(B) -> ye f(A) = ye f(B) Jetzt habe ich genau das bewiesen, was ich eigentlich wiederlegen sollte. Könnt ihr mir bitte erklären, wo mein Fehler liegt, bzw. wie ich beweisen kann, dass es Mengen gibt, bei denen f(A) (geschnitten) f(B) größer ist, als f(A (geschnitten) B).
24.10.2010, 16:16	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion zum Durchschnitt zweier Mengen Betrachte die Quadratfunktion f(x) = x^2: $\begin{eqnarray} A = \mathbb Z^{+}_{0} , B = \mathbb Z^{-}_{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\cap B =\left\{0\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(A\cap B) = f(\left\{0\right\} ) = \left\{0\right\} \subsetneq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(A)\cap f(B) = f(A) = fB) = \left\{0, 1, 4, 9, ...\right\} \end{eqnarray}$
24.10.2010, 19:17	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Vielen Dank für die Idee!! Heißt das, ich kann den Beweis so führen?
24.10.2010, 19:43	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Der zu beweisende Satz behauptet ja nur die Teilmengenbeziehung. Mein Beispiel hat mit diesem Beweis nichts zu tun, sondern belegt, dass der Satz nicht zu einer Gleichung verschärft werden kann.
24.10.2010, 20:10	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Ja, das weiß ich. Mir ist nur gar kein Beispiel eingefallen, deshalb hatte ich gefragt. Meinst du, der Beweis ist so richtig? Er baut ja auch nicht auf dein Beispiel auf.
24.10.2010, 20:36	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Mir ist der rigorose Symbolstil fremd. Sind die Existenzquantoren nicht eher Allquantoren? Wieso endet der Fall 1 mit einer Gleichheit? etc.
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24.10.2010, 22:14	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig oder falsch? Der Fall 1 endet mit Gleichheit, weil wir hier nur A (geschnitten) B betrachten und das muss ja das gleiche sein. Meine Existenzquantoren dürfen auch keine Allquantoren sein, weil es ja sonst für alle x bzw. für alle y heißen müsste und das ist ja Käse. Dann würde ja jedes Element auf alle anderen abgebldet werden.

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