Summenformel der Quadrate aller ungeraden Zahlen

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24.10.2010, 16:11	Alex0201	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel der Quadrate aller ungeraden Zahlen Meine Frage: Ich soll mit Hilfe der vollständigen Induktion die Summenformel für die Summe aller ungeraden Quadrate bestimmen. Jedoch soll ich diese Summenformel zuvor herleiten. S=1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=? Genau das ? muss ich bestimmen. Danke für eure Hilfe! Meine Ideen: Die zweite Diferenz der Summanden ergibt 1;8;16;24?! Hilft mir das? Wenn ja wie?
24.10.2010, 16:18	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe $\begin{eqnarray} S=1^2+3^2+...+(2n-1)^2=\sum_{k=1}^{n} \underbrace{(2k-1)^2}_{()} \end{eqnarray}$ und wende auf $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ die binomische Formel an. Dann brauchst du nur $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k \end{eqnarray}$ , um den Wert der Summe zu ermitteln.
24.10.2010, 16:43	The_Rock	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal! Ich komme dann auf: S=(4n^3-4n+3)/3 Einsätzungen: k^2 -> (n*(n+1)(2n+1))/6 k -> (n(n+1))/2 Das ergibt dann aber für S(3)=33 und nicht 35 was rauskommen sollte.
24.10.2010, 16:48	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du deine Rechnung hier nachvollziehbar aufschreiben. Nutze dazu am besten den Formeleditor. Edit: Wer bist du denn jetzt? Bist du auch derjenige, der die Frage gestellt hat? Warum benutzt du zwei verschiedene Namen?
24.10.2010, 17:01	The_Rock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin beide... Sorry... Das Board hat mich darauf hingewiesen, dass ich schon mal registriert war. $\begin{eqnarray} (2k-1)^2 = 4k^2-4k+1<br /> =\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)-\frac{2}{1}n(n+1)+1<br /> =\frac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3}{3}<br /> =\frac{4n^3-4n+3}{3} \end{eqnarray}$ Das ist meine Rechnung... Habe auch inzwischen in einer Formelsammlung gefunden was rauskommen müsste: $\begin{eqnarray} \frac{n(4n^2-1)}{3} \end{eqnarray*}$
24.10.2010, 17:06	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, es gilt doch nicht $\begin{eqnarray} 4k^2\stackrel{?}{=}\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n 4k^2 = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray}$ . Entsprechend natürlich auch für $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k \end{eqnarray}$ . Das wäre jetzt alles kein Problem und würde lediglich bedeuten, dass du das Summenzeichen einfach nicht hingeschrieben hast, wenn nur $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n 1 = 1 \end{eqnarray}$ wäre... Verstehst du, was ich meine und findest du damit den Fehler?
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24.10.2010, 17:28	The_Rock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich steh irgendwie immer noch auf der Leitung. Also habe ich doch dann: $\begin{eqnarray} S=\sum\limits_{k=1}^n 4k^2-\sum\limits_{k=1}^n 4k+1 \end{eqnarray}$ Und dann kann ich doch das Summenzeichen wieder ersetzen... Oder?
24.10.2010, 17:32	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast $\begin{eqnarray} S=\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n \left( 4k^2-4k+1 \right) = 4\sum_{k=1}^n k^2 - 4 \sum_{k=1}^n k + \underbrace{\sum_{k=1}^n 1}_{\neq 1} \end{eqnarray}$ Soll heißen du kannst natürlich alle drei Summenzeichen ersetzen und bei den ersten beiden hast du das auch richtig gemacht, aber $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n 1 \end{eqnarray}$ ist eben nicht 1, sondern $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n 1 = \underbrace{1+1+...+1}_{n\text{ mal}} \end{eqnarray}$ . Verstehst du deinen Fehler jetzt?
24.10.2010, 17:33	The_Rock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar... Och nööö... Logisch... Vielen Dank... Dann komm ich klar!!

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